正题

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题目大意

$n\ast m$的矩阵，求有多少条路径的乘积不小于$S$。

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解题思路

我们用总路径数减去乘积小于$S$的路径数

我们很容易想到用$f_{i,j,k}$表示到$(i,j)$这个点，然后乘积之和为$k$的$dp$。但是时间复杂度$O(nmS)$显然难以胜任本题。

我们考虑将$S-1$整除分块，用$f_{i,j,k}$表示$(i,j)$这个点时，再乘上一个大于等于$k$的数就会大于等于$S$。

然后我们可以得到动态转移方程
$$f_{i,j,k}=f_{i-1,j,z}+f_{i,j-1,z}(z=\frac{S-1}{\lfloor \frac{S-1}{k}\rfloor \ast a_{i,j}})$$

然后$k$只有$2\ast \sqrt{S}$，所以时间复杂度$O(nm\sqrt{S})$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int XJQ=1e9+7,N=310;
int n,m,s,t,a[N][N],f[2][N][5000],ans,num[5000],v[1100000],c[N][N],cnt;
int main()
{freopen("mobitel.in","r",stdin);freopen("mobitel.out","w",stdout);scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);c[1][0]=1;s--;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)c[i][j]=(c[i][j-1]+c[i-1][j])%XJQ;for(int i=1,k;i<=s;i=k+1){k=s/(s/i);num[++cnt]=s/i;v[num[cnt]]=cnt;}/*for(int i=s;i>=1;i--)v[i]=v[i]?v[i]:v[i+1];*/for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);f[1][1][v[s/a[1][1]]]=1;for(int i=1;i<=n;i++){memset(f[~i&1],0,sizeof(f[~i&1]));for(int j=1;j<=m;j++)for(int k=1;k<=cnt;k++){int z=num[k];if(!f[i&1][j][k]) continue;if(i<n&&z/a[i+1][j]>0) (f[~i&1][j][v[z/a[i+1][j]]]+=f[i&1][j][k])%=XJQ;if(j<m&&z/a[i][j+1]>0) (f[i&1][j+1][v[z/a[i][j+1]]]+=f[i&1][j][k])%=XJQ;}}for(int k=1;k<=cnt;k++)(ans+=f[n&1][m][k])%=XJQ;printf("%d",(c[n][m]-ans+XJQ)%XJQ);
}