正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3188

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题目大意

$n$个物品，大小为$W$的背包。

每个物品的大小可以表示为$w_i=a_i{2}^{b_i}$，有价值$v_i$。

求选择一些物品不超过背包的大小使得价值最大。

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解题思路

设先计算$b_i$相同的物品，设$f_{i,j}$表示只计算$b=i$的物品时，一个容量为$j\ast 2^i$时的背包时的最大价值。

然后将多个背包合并，设$g_{i,j}$表示只计算$b\le i$的物品时，容量为$j\ast 2^i+W\&(2^i-1)$时的最大价值。

然后有转移方程gi,j=max{fi,j−k+gi−1,2k+(W>>(i−1))&1}g_{i,j}=max\{\ \ f_{i,j-k}+g_{i-1,2k+(W>>(i-1))\&1}\ \ \}gi,j​=max{  fi,j−k​+gi−1,2k+(W>>(i−1))&1​  }

然后答案就是$g_{30,0}$

时间复杂度$O(n\log a\sum a)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=110;
int n,W,a[N],v[N],lim[N];
int f[N][N*N],g[N][N*N];
vector<int> q[N];
int main()
{while(1){ memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));memset(lim,0,sizeof(lim));for(int i=0;i<=30;i++)q[i].clear(); scanf("%d%d",&n,&W);if(n==-1)return 0;for(int i=1;i<=n;i++){int b=0;scanf("%d%d",&a[i],&v[i]);while(a[i]>10 || !(a[i]&1))b++,a[i]/=2;q[b].push_back(i);lim[b]+=a[i];}for(int i=0;i<=30;i++)for(int j=0;j<q[i].size();j++)for(int k=lim[i];k>=a[q[i][j]];k--)f[i][k]=max(f[i][k-a[q[i][j]]]+v[q[i][j]],f[i][k]);for(int i=0;i<=lim[0];i++)g[0][i]=f[0][i];for(int i=1;i<=30;i++){lim[i]+=(lim[i-1]+1)/2;for(int j=0;j<=lim[i];j++)for(int k=0;k<=j;k++)g[i][j]=max(g[i][j],f[i][j-k]+g[i-1][min(lim[i-1],2*k+((W>>i-1)&1))]);}printf("%d\n",g[30][0]);}
}