正题

题面链接:https://www.luogu.com.cn/problem/U142584

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题目大意

$n$个$01$串，按顺序分成两个序列，然后拼接成一个序列（拼接串$x,y$的话就是变成一个前缀包含$x$，后缀包含$y$的最短的串）。求最短长度。

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解题思路

显然将$01$串的状态压起来
定义$pr{e}_{x,i}$表示串$x$的前$i$位，$su{f}_{x,i}$表示串$x$的后$i$位，$co{m}_{x,y}$表示串$x,y$的最长公共位。
那么设$f_{i,j,k}$表示到第$i$个串，第一个串以$a_i$结尾，第二个的后$j$位是$k$时的最小长度和。
那么第一种转移就是拼接$a_{i-1}$和$a_i$，也就是$$f_{i,j,k}=f_{i-1,j,k}+L-co{m}_{a_{i-1},a_i}$$
第二种是$a_i$和$k$拼起来，那么第一个串的$k$就变成了$a_{i-1}$
$$f_{i,j,suf(a_{i-1},j)}=f_{i-1,j,pre(a_i,j)}+L-j$$

这样转移是$O(n\ast l\ast 2^l)$的，显然无法通过本题

发现主要的时间落在第一个转移上，我们考虑优化掉第一个转移，我们发现每次的$L-co{m}_{a_{i-1},a_i}$是一个定值，我们可以先让最后的答案加上这些定值，然后第一个转移可以去掉，二个转移变为$$f_{i,j,suf(a_{i-1},j)}=f_{i-1,j,pre(a_i,j)}+co{m}_{a_{i-1},a_i}-j$$

时间复杂度$O(n\ast l)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10,inf=2147483647/3;
int n,L,a[N],f[21][1<<21],ans;
char s[N];
int pre(int x,int i)
{return x>>(L-i);}
int suf(int x,int i)
{return x&((1<<i)-1);}
int com(int x,int y){for(int i=L;i>=0;i--)if(suf(x,i)==pre(y,i))return i;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",s);if(i==1)L=strlen(s);for(int j=0;j<L;j++)a[i]=(a[i]<<1)+(s[j]-'0');}memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0][0]=L;for(int i=2;i<=n;i++){int tmp=L-com(a[i-1],a[i]),mins=inf;ans+=tmp;for(int j=0;j<=L;j++)mins=min(mins,f[j][pre(a[i],j)]+L-j-tmp);for(int j=0;j<=L;j++)f[j][suf(a[i-1],j)]=min(f[j][suf(a[i-1],j)],mins);}printf("%d\n",f[0][0]+ans);
}