正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3172

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题目大意

求有多少个长度为$N$的值域在$[L,R]$这个区间的序列满足它们的$gcd$恰好是$K$。

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解题思路

$dp$容斥思想

我们先让$L=\lfloor \frac{L+K-1}{K}\rfloor ,R=\lfloor \frac{R}{K}\rfloor$，这样就变成了让$gcd$是$1$。

然后设$f_i$表示$gcd$恰好是$i$时的方案。开始时，若对于一个$i$有$x$个数在$[L,R]$的区间内，那么$f_i=x^n-x$表示这个区间的公约数包含$x$且不完全相同时的方案数，那么我们让所有的$f_i$减去$f_{k\ast i}(k\ast i\le R-L)$的最终值即可。

注意当$L=1$时需要特判，因为可以全是$1$。

杜教筛+莫比乌斯反演思想

这里只是提及一下，我也没写
定义$f(x)$表示$gcd$为$x$时的方案数，$ct(l,r,k)$表示$[l,r]$区间$k$的倍数的个数
那么$$F(x)=\sum _{x|d}f(d)=ct(L,R,x{)}^n$$
$$f(k)=\sum _{k|d}F(\frac{d}{k})\mu (d)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{R}{k}\rfloor }F(ik)\mu (i)$$
展开$ct$
$$\Rightarrow f(k)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{R}{k}\rfloor }(\lfloor \frac{R}{ik}\rfloor -\lfloor \frac{L-1}{ik}\rfloor )\mu (i)$$

然后整除分块前面那一部分，后面那一部分杜教筛处理即可。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7;
ll n,k,w,h,f[110000];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&w,&h);w=(w+k-1)/k;h=h/k;if(h<w)return printf("0")&0;for(ll i=1;i<=h-w;i++){ll x=h/i-(w+i-1)/i+1;if(x<=0)continue;f[i]=(power(x,n)-x+P)%P;}for(ll i=h-w;i>=1;i--)for(ll j=2*i;j<=h-w;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+P)%P;if(w==1)f[1]=(f[1]+1)%P;printf("%lld\n",f[1]);return 0;
}