正题

题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1220

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题目大意

给出$n$，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sigma (i\ast j)$$
其中$\sigma$表示约数和。

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解题思路

首先有结论$$\sigma (i\ast j)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)==1]\frac{x}{y}j$$
大概是枚举两个约数的占比。
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|i}[gcd(x,y)==1]\frac{x}{y}j$$
这里就直接上反演了
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x|i}\sum _{y|i}[d|gcd(x,y)]\frac{x}{y}j$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x|d}\sum _{y|d}\frac{x}{y}\sum _{x|i}\sum _{y|j}j$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x|d}\sum _{y|d}\frac{x}{y}y\frac{(\lfloor \frac{n}{y}\rfloor +1)\lfloor \frac{n}{y}\rfloor \lfloor \frac{n}{x}\rfloor }{2}$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{x|d}\lfloor \frac{n}{x}\rfloor x\sum _{y|d}\frac{(\lfloor \frac{n}{y}\rfloor +1)\lfloor \frac{n}{y}\rfloor }{2}$$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)d\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\lfloor \frac{n}{xd}\rfloor x\sum _{y=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\frac{(\lfloor \frac{n}{yd}\rfloor +1)\lfloor \frac{n}{yd}\rfloor }{2}$$
前面那个${\sum }_{d=1}^n\mu (d)d$可以杜教筛来求，卷上一个$id$之后${\sum }_{d|n}\mu (d)\ast d\ast \frac{n}{d}=n{\sum }_{d|n}\mu (d)$就是$ϵ$了。

考虑如何求后面那两个，第一个我们把它化简一下$$\sum _{i=1}^n\frac{(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor +1)\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }{2}=\sum _{i=1}^{n}i\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$
就和前面那个式子一样了，对于这个式子，我们可以理解为枚举每个数作为约数的次数，那么就有$$\sum _{i=1}^{n}i\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\sum _{i=1}^n\sigma (i)$$

这样我们就可以线性筛出比较小时的答案，然后比较大的时候就直接整除分块搞就好了。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e6,P=1e9+7;
ll n,cnt,low[N],pre[N],mu[N],pri[N],s[N];
map<ll ,ll > mark;bool v[N];
void Prime(){mu[1]=s[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])s[i]=i+1,mu[i]=-i,low[i]=i,pri[++cnt]=i;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];s[i*pri[j]]=(s[i]*pri[j]+s[i/low[i]])%P;break;}low[i*pri[j]]=pri[j];s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]]%P;mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];}}for(ll i=1;i<N;i++)mu[i]=(mu[i]+mu[i-1])%P,s[i]=(s[i-1]+s[i])%P;return;
}
ll Get_Mu(ll n){if(n<N)return mu[n];if(mark[n])return mark[n];ll ans=1;for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ans=(ans-Get_Mu(n/l)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2)%P)%P;}return mark[n]=(ans+P)%P;
}
ll Get_Sum(ll n){if(n<N)return s[n];ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ans=(ans+(n/l)*(r*(r+1)/2-l*(l-1)/2)%P)%P;}return (ans+P)%P;
}
int main()
{Prime();scanf("%lld",&n);ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ll tmp=Get_Sum(n/l);tmp=tmp*tmp%P;ans=(ans+(Get_Mu(r)-Get_Mu(l-1))*tmp%P)%P;}printf("%lld",(ans+P)%P);
}