正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4980

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题目大意

$n$个物品图上$m$种颜色，求在可以旋转的情况下本质不同的涂色方案。

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解题思路

既然是群论基本题就顺便写一下刚刚了解到的相关知识把（顺便消磨一下时间

一个群$(G,\times )$定义为一个在运算$\times$下满足以下条件的集合

1. 封闭性：若存在$a,b\in G$那么有$a\times b\in G$
2. 交换律：若有$a,b,c\in G$那么有$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
3. 单位元：群中$\exists e\in G$满足$\forall x\in G$都有$x\times e=x$
4. 逆元：对于$\forall x\in G$都有一个唯一元素$y\in G$且$x\times y=e$

然后中间一些东西很多很杂这里不多说了，直接到置换部分。

一般来说规定置换第一行为$(1,2,3...)$，那么定义一个置换$\sigma =(g_1,g_2,g_3,...)$。如果一个置换作用与一个排列$a$，一般写为$\sigma (a)=b$的话，就有$b_i=a_{g_i}$。需要注意的是对于一个置换两次后相当与使用了另一个置换。（也就是置换只能生效一次

然后就是$\text{Burnside}$引理了，对于一个置换群$G$，若$G$作用与一个集合$X$时，集合$X$中本质不同的元素个数为
$$\frac{1}{|G|}\sum _{f\in G}C(f)$$
其中$C(f)$表示$X$的所有元素中对于置换$f$的不动点数量。

而$\text{Polya}$定理就是建立在$\text{Burnside}$引理上的，对于一个置换$f$，定义它的循环节数量为$T(f)$，用$m$种颜色染色时方本质不同的染色方案数就是
$$\frac{1}{|G|}\sum _{f\in G}{m}^{T(f)}$$
也就是$m^{T(f)}=C(f)$，这个很显然，因为每个循环节涂成一种颜色就是一个不动点。

回到这题的旋转来，我们可以将其视为$n$个不同的置换构成的一个置换群。对于旋转$i$步，它的循环节数量就是$gcd(n,i)$，也就是我们要求
$$\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{m}^{gcd(n,i)}$$
枚举一下$gcd(n,i)$
$$\frac{1}{n}\sum _{d|n}{m}^d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(\frac{n}{d},i)==1]$$
哦对啊好像有$m=n$
$$\frac{1}{n}\sum _{d|n}{n}^d\phi (\frac{n}{d})=\sum _{d|n}{n}^{d-1}\phi (\frac{n}{d})$$
这个时间复杂度大概是$O(T{n}^{\frac{3}{4}})$的，但是因为约数个数远到不了$\sqrt{n}$所以你可以把它视为常数比较大的$O(T\sqrt{n})$？

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7;
ll T,n,ans;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
ll phi(ll x){ll ans=x;for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i)continue;while(x%i==0)x/=i;ans=ans/i*(i-1);}if(x>1)ans=ans/x*(x-1);return ans;
}
ll calc(ll x)
{return phi(x)*power(n,n/x-1)%P;}
signed main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);ans=0;for(ll i=1;i*i<=n;i++){if(n%i)continue;ans=(ans+calc(i))%P;if(i*i!=n)ans=(ans+calc(n/i))%P;}printf("%lld\n",ans);}return 0;   
}