[CF995F] Cowmpany Cowmpensation（树形dp，拉格朗日插值）

树形DP：
设 $f [u] [i]$ 表示给 $u$ 的子树分配工资， $u$ 点工资为 $i$ 的方案数
$f[u][i]=∏v∈sonu(∑j=1if[v][j])f[u][i]=\prod\limits_{v\in son_u}(\sum\limits_{j=1}^{i}f[v][j])$
前缀和优化：
设 $g[u][i]=∑j=1if[u][j]g[u][i]=\sum\limits_{j=1}^{i}f[u][j]$
$f[u][i]=∏v∈sonug[v][i]f[u][i]=\prod\limits_{v\in son_u}g[v][i]$
时间复杂度 $O (n d)$
考虑用拉格朗日插值优化成 $O(n^2)$ ：
设 $g_u(x)$ 为关于 $x$ 的函数，代入 $x$ ，即可得到 $g [u] [x]$ ，
合理猜想 $g_u(x)$ 的次数为 $sz_u$ （ $u$ 的子树大小），可以用数学归纳法证明：

当 $u$ 为叶子结点时， $g_u(x)=x$ ，成立。
当 $u$ 非叶子结点时，考虑：
$gu(x)−gu(x−1)=∏v∈sonugv(x)g_u(x)-g_u(x-1)=\prod\limits_{v\in son_u}g_v(x)$
由于 $v$ 满足猜想，即 $g_v(x)$ 的次数为 $sz_v$ ，则 $g_u(x)-g_u(x-1)$ 的次数为 $∑v∈sonuszv\sum\limits_{v\in son_u}sz_v$ ，即 $sz_u-1$ 。
再还原差分，次数 +1，有 $g_u(x)$ 是关于 $x$ 的 $sz_u-1+1=sz_u$ 次函数。

所以我们只要知道 $g_1(1),g_1(2),...,g_1(n)$ ，便可以用拉格朗日插值得出 $g_1(d)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=3050;
struct Edge{int v,nxt;}edge[N];
int n,cnt,head[N],fa[N];
int d,f[N][N],sum[N][N],inv[N],ans;
int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
void addedge(int u,int v){edge[++cnt].v=v;edge[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
}
void dfs(int u){for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].v;dfs(v);for(int j=1;j<=min(n,d);j++)f[u][j]=mul(f[u][j],sum[v][j]);}for(int j=1;j<=min(n,d);j++) sum[u][j]=add(sum[u][j-1],f[u][j]);
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&d);inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);for(int i=2;i<=n;i++){scanf("%d",&fa[i]);addedge(fa[i],i);}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=min(n,d);j++) f[i][j]=1;dfs(1);if(d<=n) printf("%d\n",sum[1][d]);else{for(int i=1;i<=n;i++){int x=sum[1][i];for(int j=0;j<=n;++j) if(i^j) x=1ll*x*(d-j+mod)%mod*(i>j?inv[i-j]:mod-inv[j-i])%mod;ans=add(ans,x);}printf("%d\n",ans);}return 0;
}