工科数学分析无穷级数总结

目录

    • 序言
    • 一.常数项级数
      • 概念
          • 1. 什么是常数项无穷级数?
          • 2. 级数的收敛性与和
      • 两个特别的级数
      • 级数的判别方法
          • ①常数项级数判别法
          • ②正项级数的审敛准则
          • ③变号级数的审敛准则
          • ④绝对收敛
    • 二.函数项级数
      • 概念
          • 1. 什么是函数项级数?
          • 2. 函数项级数处处收敛与和函数
      • 一致收敛
          • 1. 函数项级数一致收敛
          • 2. 函数项级数一致收敛判别准则
          • 3. 函数项级数一致收性质
    • 三.幂级数
      • 概念
          • 什么是幂级数?
      • 收敛半径
          • 1.什么是收敛半径?
          • 2.求收敛半径
      • 幂级数性质
          • 1.代数运算性质
          • 2.和函数的性质
      • 常见麦克劳林级数
    • 四.傅里叶级数
    • 总结

序言

2020/3/26,老师留了个作业:总结无穷这几周学的无穷级数。由于字太丑所以用一些特别的方式来总结一下吧。

  1. 来一个有趣的例子:
    0.9<10.9<10.9<1
    0.99<10.99<10.99<1
    0.999<10.999<10.999<1
    0.99999<10.99999<10.99999<1
    0.99999⋯=10.99999\cdots=10.99999=1
    这是我小学就知道的东西,现在到了大学终于明白为什么0.99999⋯=10.99999\cdots=10.99999=1
    这里是知乎网友证明0.999⋯=10.999\cdots=10.999=1的过程
  2. 再来一个更贴切点儿点的例子:
    我:小明,咱俩那么好的哥们,我未来会给你一个亿
    小明:好呀好呀!什么时候给我?
    我:未来
    小明:未来是什么时候?
    我:以后再说

    其实我可以到无穷多年之后再给小明这笔巨款,所以小明什么时候能得到?无穷年后?那么他真的会得到这笔巨款吗?哈哈聪明的你可能想到小明根本得不到这笔巨款。 这就我所理解的无穷

一.常数项级数

概念

1. 什么是常数项无穷级数?

a1+a2+⋯+an+⋯a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdotsa1+a2++an+,或∑n=1∞an\sum_{n=1}^{ \infty}a_nn=1an称为常数项无穷级数,简称常数项级数级数ana_nan称为该级数的通项

2. 级数的收敛性与和

Sn=a1+a2+⋯+an=∑k=1nakS_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_kSn=a1+a2++an=k=1nak
上述式子称为级数的部分和。若部分和数列{SnS_nSn}收敛,则称级数收敛,并称
S=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nakS=\lim_{n \to \infty}S_n=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_kS=nlimSn=nlimk=1nak为他们的,记作∑n=1n→∞an=S\sum_{n=1}^{n \to \infty}a_n=Sn=1nan=S;否则称级数发散,级数的收敛与发散成为敛散性收敛级数的和与其部分和之差Rn=S−Sn=∑k=n+1∞akR_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}a_kRn=SSn=k=n+1ak称为该级数的余项

两个特别的级数

  1. 等比级数
    ∑n=0∞aqn=a+aq+aq2+⋯+aqn−1+⋯(a≠0)\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}+\cdots(a\ne 0)n=0aqn=a+aq+aq2++aqn1+(a=0)
    ∣q∣<1|q|<1q<1,等比级数收敛;当∣q∣≥1|q|\ge1q1,等比级数发散
  2. 调和级数
    ∑n=1∞1n=1+12+13+⋯+1n+⋯\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdotsn=1n1=1+21+31++n1+
    为什么叫做调和级数?调和级数发散

级数的判别方法

①常数项级数判别法
  • 定义判别法
  • Cauchy收敛原理
    在这里插入图片描述
    每次都有柯西,但是我发现做题很少用柯西的东西
②正项级数的审敛准则
  • 正项级数∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_nn=1an收敛的充要条件是它的部分和数列有上界
  • 比较准则ⅠⅠ

在这里插入图片描述

  • 比较准则ⅡⅡ
    在这里插入图片描述

  • 积分准则
    在这里插入图片描述

  • D’Alembert准则
    在这里插入图片描述

  • Cauchy准则
    在这里插入图片描述

  • 对数判别法
    在这里插入图片描述

③变号级数的审敛准则
  • Leibniz准则
    在这里插入图片描述
④绝对收敛
  • 绝对收敛准则
    若级数∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{ \infty}|a_n|n=1an收敛,则级数∑n=1∞an\sum_{n=1}^{ \infty}a_nn=1an收敛
  • 绝对收敛性质
    ⅠⅠ ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{ \infty}a_nn=1an绝对收敛,则任意交换它的各项顺序后所得的新级数也绝对收敛,且其和不变
    ⅡⅡ若级数∑n=1∞an\sum_{n=1}^{ \infty}a_nn=1an∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{ \infty}b_nn=1bn都绝对收敛,其和分别为AAABBB,则级数∑n=1∞cn(cn=a1bn+a2bn−1+⋯+anb1)\sum_{n=1}^{ \infty}c_n(c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1)n=1cn(cn=a1bn+a2bn1++anb1)也绝对收敛且其和等于ABABAB

二.函数项级数

概念

1. 什么是函数项级数?

设{unu_nun}是定义在同一集合A⊂RA\subset RAR上由无穷多项组成的一列函数(称为函数列)将他们各项依次用加号联结起来所得到的表达式 u1+u2+⋯+un+⋯或∑n=1∞unu_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots或\sum_{n=1}^{\infty}u_nu1+u2++un+n=1un
称为集合A上的函数项级数,unu_nun称为它的通项,前nnn项之和 Sn=∑k=1nukS_n=\sum_{k=1}^{n}u_kSn=k=1nuk称为它的部分和

2. 函数项级数处处收敛与和函数

x0∈Ax_0\in Ax0A,将x0x_0x0代入函数项级数,它就变成一个常数项级数
∑n=1∞un(x0)=u1(x0)+u2(x0)+⋯+un(x0)+⋯\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots+u_n(x_0)+\cdotsn=1un(x0)=u1(x0)+u2(x0)++un(x0)+
若该级数收敛,则称x0x_0x0为函数项级数的收敛点,由收敛点全体构成的集合DDD称为该级数的收敛域。若x0x_0x0不是收敛点,则称它为该级数的发散点,由发散点的全体所构成的集合称为该级数的发散域。设DDD为级数的收敛域,则∀x∈D\forall x \in DxD,级数都收敛,称该级数的这种收敛在DDD处处收敛(或逐点收敛)。此时,称由S(x)=∑n=1∞un(x),x∈DS(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x), x \in DS(x)=n=1un(x),xD定义的函数SSSDDD->RRR为级数的和函数,简称
若级数在DDD上处处收敛,则S(x)=lim⁡n→∞∑k=1nuk=lim⁡n→∞Sn(x)S(x)= \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}u_k=\lim_{n \to \infty}S_n(x)S(x)=nlimk=1nuk=nlimSn(x)
因此,在DDD上级数的和函数就是其部分和Sn(x)S_n(x)Sn(x)的极限,与常数项类似,也称
Rn(x)=S(x)−Sn(x)=∑k=n+1∞uk(x)R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty}u_k(x)Rn(x)=S(x)Sn(x)=k=n+1uk(x)为改级数的余项并且 lim⁡n→∞Rn(x)=0(x∈D)\lim_{n \to \infty}R_n(x)=0(x \in D)limnRn(x)=0(xD)

一致收敛

1. 函数项级数一致收敛

若存在一个函数SSSD→RD\to RDR,满足
∀ε>0\forallε>0ε>0∃N(ε)∈N+\exists N(ε) \in N_+N(ε)N+,当 n>N(ε)n>N(ε)n>N(ε)时,∀x∈D\forall x \in DxD,恒有∣S(x)−Sn(x)∣|S(x)-S_n(x)|S(x)Sn(x),称级数在DDD一致收敛于SSS

2. 函数项级数一致收敛判别准则
  • Cauchy一致收敛原理
    在这里插入图片描述
  • Weierstrass 准则
    在这里插入图片描述
3. 函数项级数一致收性质
  • 和函数的连续性
    在这里插入图片描述

  • 和函数的可积性
    在这里插入图片描述

  • 和函数的可导性
    在这里插入图片描述

三.幂级数

概念

什么是幂级数?

形如
∑n=1∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdotsn=1anxn=a0+a1x+a2x2++anxn+
或者
∑n=1∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+⋯\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdotsn=1an(xx0)n=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+的函数项级数称为幂级数

收敛半径

1.什么是收敛半径?

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大,使得在 ∣z−a∣<R|z-a| < Rza<R时幂级数收敛,在 ∣z−a∣>R|z -a| > Rza>R时幂级数发散。

2.求收敛半径
  • 比值求法
    设有幂级数∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nn=0anxn,若an≠0a_n\neq 0an=0,并且lim⁡n→∞∣anan+1∣\lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|limnan+1an存在或为+∞+\infty+则它的收敛半径为R=lim⁡n→∞∣anan+1∣R=\lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|R=nliman+1an

  • 根值求法
    设有幂级数∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nn=0anxn,若an≠0a_n\neq 0an=0,并且lim⁡n→∞∣1ann∣\lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|limnnan1存在或为+∞+\infty+则它的收敛半径为R=lim⁡n→∞∣1ann∣R=\lim_{n \to \infty}|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|R=nlimnan1

幂级数性质

1.代数运算性质

设幂级数与的收敛半径分别为R1R1R1R2R2R2,令R=min(R1,R2)R=min(R1,R2)R=min(R1,R2),则在它们的公共收敛区间(−R,R)(-R,R)(R,R)内,有
在这里插入图片描述

2.和函数的性质
  • 和函数的可积性
    在这里插入图片描述
  • 和函数的可导性

在这里插入图片描述

常见麦克劳林级数

  • 几何级数
    11−x=1+x+x2+⋯+xn+⋯,∣x∣<1\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots,|x|<11x1=1+x+x2++xn+,x<1

  • 指数函数exe^xex展开式
    ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+⋯,x∈(−∞,+∞)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)ex=1+x+2!x2++n!xn+,x(,+)

  • 正弦sin⁡x\sin xsinx展开式
    sin⁡x=x−x33!+x55!+(−1)kx2k+1(2k+1)!+⋯,x∈(−∞,+∞)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)sinx=x3!x3+5!x5+(1)k(2k+1)!x2k+1+,x(,+)

  • 余弦函数cos⁡x\cos xcosx展开式
    cos⁡x=1−x22!+x44!+(−1)kx2k(2k)!+⋯,x∈(−∞,+∞)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)cosx=12!x2+4!x4+(1)k(2k)!x2k+,x(,+)

  • 对数函数ln⁡(x+1)\ln (x+1)ln(x+1)展开式
    ln⁡(x+1)=x−x22+x33+(−1)n−1xnn+⋯,x∈(−1,1]\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,x\in(-1,1]ln(x+1)=x2x2+3x3+(1)n1nxn+,x(1,1]

  • 幂函数(1+x)a(1+x)^a(1+x)a的展开式(a∈R)(a\in R)(aR)
    (1+x)a=1+ax+a(a−1)2!x2+⋯+a(a−1)⋯(a−n+1)n!xn+⋯,x∈(−1,1)(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots,x\in(-1,1)(1+x)a=1+ax+2!a(a1)x2++n!a(a1)(an+1)xn+,x(1,1)

四.傅里叶级数

三角函数的正交性

1.三角函数系

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,\cdots,cosnx,sinnx,\cdots1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,}

2.正交性

在这里插入图片描述

Dirichlet定理与条件

在这里插入图片描述

傅里叶级数展开

1.定义在[−l,l][-l,l][l,l]上函数的Fourier展开

f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπxl+bnsinnπxl)f(x)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{nπx}{l}+b_nsin\frac{nπx}{l})f(x)=2a0+n=1(ancoslnπx+bnsinlnπx)
其中系数ana_nanbnb_nbn可由下面的公式求的

{an=1l∫−llf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,⋯)bn=1l∫−llf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,⋯)\begin{cases} a_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x)cos\frac{nπx}{l}dx (n=0,1,2,\cdots) \\ b_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x)sin\frac{nπx}{l}dx (n=1,2,3,\cdots)\end{cases}{an=l1llf(x)coslnπxdx(n=0,1,2,)bn=l1llf(x)sinlnπxdx(n=1,2,3,)

2.定义在[0,l][0,l][0,l]上函数的Fourier展开
  • 偶延拓
    如果要求将fff[0,l][0,l][0,l]展开成Fourier余弦函数,可采用偶延拓的方式
    F(x)={f(x),0≤x≤lf(−x),−l≤x<0F(x)=\begin{cases} f(x),0\leq x \leq l \\ f(-x),-l\leq x < 0\end{cases}F(x)={f(x),0xlf(x),lx<0
    FFF[−l,l][-l,l][l,l]上展开成Fourier级数,得
    {an=2l∫0lf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,⋯)bn=0(n=1,2,3,⋯)\begin{cases} a_n=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x)cos\frac{nπx}{l}dx (n=0,1,2,\cdots) \\ b_n=0 (n=1,2,3,\cdots)\end{cases}{an=l20lf(x)coslnπxdx(n=0,1,2,)bn=0(n=1,2,3,)
    从而得知
    f(x)=a02+∑n=1∞ancosnπxlf(x)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\frac{nπx}{l}f(x)=2a0+n=1ancoslnπx
    就是fff[0,l][0,l][0,l]上的Fourier余弦展开式
  • 奇延拓
    如果要求将fff[0,l][0,l][0,l]展开成Fourier余弦函数,可采用偶延拓的方式
    F(x)={f(x),0<x≤l−f(−x),−l≤x<0F(x)=\begin{cases} f(x),0<x \leq l \\ -f(-x),-l\leq x < 0\end{cases}F(x)={f(x),0<xlf(x),lx<0
    FFF[−l,l][-l,l][l,l]上展开成Fourier级数,得
    {an=0(n=0,1,2,⋯)bn=2l∫0lf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,⋯)\begin{cases} a_n=0 (n=0,1,2,\cdots) \\ b_n=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x)sin\frac{nπx}{l}dx (n=1,2,3,\cdots)\end{cases}{an=0(n=0,1,2,)bn=l20lf(x)sinlnπxdx(n=1,2,3,)
    从而得知
    f(x)=∑n=1∞bnsinnπxlf(x)= \sum_{n=1}^{\infty}b_nsin\frac{nπx}{l}f(x)=n=1bnsinlnπx
    就是fff[0,l][0,l][0,l]上的Fourier余弦展开式

总结

学的不咋好,上网课太难专注了,就这样吧。如有错误请指正。
图片来源于百度百科和工科数学分析电子课本
如果转载请注明

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/319757.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

dump解析入门-用VS解析dump文件进行排障

突然有一天部署在服务器的一个应用挂掉了&#xff0c;没办法只能进入服务器打开【事件查看器】查看下&#xff0c;好不容易找到了打开后一脸懵逼事件查看器查到的内容根本对我们排障没有任何作用。在这个时候如果有对应的dump文件就能派上用场了&#xff0c;只要有dump文件就能…

关于__int128高精度运算

参考文章 使用__int128可以实现高精度运算&#xff0c;但是这种大整数无法使用函数printf输出结果&#xff0c;所以需要手写输出 #include <bits/stdc.h> using namespace std; inline __int128 read() {__int128 x0,f1;char chgetchar();while(ch<0||ch>9){if(ch…

【树链剖分】Disruption P(luogu 4374)

正题 luogu 4374 题目大意 给你一棵树&#xff0c;还有若干边&#xff0c;每条边有一定代价&#xff0c;问你删掉树中的每条边后&#xff0c;使其成为连通图的最小代价 解题思路 不难发现&#xff0c;一条边只对两个端点在树中的路径上的边有贡献&#xff08;即删去树中的这…

P4831-Scarlet loves WenHuaKe【组合数学】

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4831 题目大意 n∗mn*mn∗m的网格上放置2n2n2n个炮&#xff0c;要求互不能攻击。 数据满足n≤m≤2000n\leq m\leq 2000n≤m≤2000或n≤m≤105n\leq m\leq 10^5n≤m≤105且m−n≤10m-n\leq 10m−n≤10 解题思路 每行每列最多…

AtCoder Beginner Contest 172总结

A-calc 直接按照题目输出就行 #include<iostream> using namespace std; int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int a;cin>>a;cout<<aa*aa*a*a<<endl;return 0;}B-Minor Change 题中默认肯定能够从S替换到T那么直接不相…

一起开心2020暑假训练第二周 图论(模板题)

比赛链接&#xff1a; 文章目录A HDU 1285 一B HDU 1863 起C POJ 2387 开D POJ 1502 心E HDU 5922 图F HDU 2112 论A HDU 1285 一 拓扑排序模板题&#xff0c;记录每个点的入度&#xff0c;然后按照入度大小以及顺序进行输出 #include<iostream> #include<queue>…

.NET Core部署中你不了解的框架依赖与独立部署

作者&#xff1a;依乐祝原文地址&#xff1a;https://www.cnblogs.com/yilezhu/p/9703460.htmlNET Core项目发布的时候你有没有注意到这两个选项呢&#xff1f;有没有纠结过框架依赖与独立部署到底有什么区别呢&#xff1f;如果有的话那么这篇文章可以参考下&#xff01;为什么…

【树链剖分】旅游(luogu 3976)

正题 luogu 3976 题目大意 给你一棵树&#xff0c;每个点有一个权值s 现在给你一条路径&#xff0c;让你选择两个点x,y&#xff0c;使y在x后面&#xff0c;且sy−sxs_y-s_xsy​−sx​最大 然后该路劲上所有点权值加v 解题思路 树链剖分 在线段树上维护从左到右和从右到左…

P7276-送给好友的礼物【dp】

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7276?contestId39577 题目大意 nnn个点的一棵树&#xff0c;kkk个关键点&#xff0c;两个人从根出发分别走一段路径回到根。要求每个关键点至少被一个人经过&#xff0c;求最短时间。 解题思路 相当于求两个覆盖所有关键点…

dump文件解析之探索.Net的内存

前言&#xff1a;对于需要长时间运行的.net程序&#xff0c;有时需要我们查看内存的使用有没有内存泄露问题。我们可以从dump文件中找到答案。Dump的看点用dump文件来分析内存&#xff0c;到底我们需要关心哪些点呢&#xff1f;内存的使用情况 HeapSize/object的数量 也就是托管…

Codeforces Round #654 (Div. 2)

A.Magical Sticks 贪心凑长度为nnn的木棒 #define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0) #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int n; int main() {IO;int T;cin>>T;while(T--){cin>>n;cout<<(n1)/…

P3307-[SDOI2013]项链【Burnside引理,莫比乌斯反演,特征方程】

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3307 题目大意 nnn个珠子的一个环形项链&#xff0c;每个珠子有三个1∼k1\sim k1∼k的整数。 两个珠子不同当且仅当它们不能通过翻转或者旋转得到两个项链不同当且仅当它们不能通过旋转得到珠子要求上面的数字互质项链要求相…

【树链剖分】Milk Visits G(luogu 5838)

正题 luogu 5838 题目大意 给你一棵树&#xff0c;和若干查询&#xff0c;每次查询一条路径上是否有点的权值为x 解题思路 离线处理&#xff0c;每次将树上权值为x的点附上1的值&#xff0c;然后询问就是求和&#xff0c;查询完后清零 代码 #include<cstdio> #includ…

2020牛客暑期多校训练营(第二场)

2020牛客暑期多校训练营&#xff08;第二场&#xff09; 最烦英语题 文章目录A All with PairsB BoundaryC Cover the TreeD DurationE Exclusive ORF Fake MaxpoolingG Greater and GreaterH Happy TriangleI IntervalJ Just ShuffleK Keyboard FreeA All with Pairs B Bound…

鸿蒙 - arkTs:状态管理

状态 State&#xff1a; 在声明式UI中&#xff0c;以状态驱动视图更新 状态&#xff08;State&#xff09;&#xff1a;指驱动视图更新的数据&#xff08;被装饰器标记的变量&#xff09;视图&#xff08;View&#xff09;&#xff1a;基于UI描述渲染得到的用户界面 使用示例…

微软发布Azure Pipelines,开源项目可无限制使用CI/CD

微软发布了Azure Pipelines&#xff0c;他们新的CI/CD服务&#xff0c;是Azure DevOps产品的一部分。Azure Pipelines可用于构建、测试和部署工作负载&#xff0c;并可以让各种语言、项目类型和平台协同工作。作为Visual Studio Team Services&#xff08;VSTS&#xff09;的后…

Codeforces Round #653 (Div. 3)

A.Required Remainder 二分 #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int main() {int T;ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin>>T;int x,y,n;while(T--){cin>>x>>y>>n;int l0,r(n-y)/x;while(…

【树链剖分】【倍增】宝石(2021GDOI Day2 T1)

正题 luogu 7518 题目大意 给你一棵树&#xff0c;一条路径的价值为&#xff1a;路径上点权以1开始依次递增1的子序列&#xff0c;有q次询问&#xff0c;每次询问一条路径的价值 解题思路 n,m值比较大&#xff0c;对于每次询问只有O(log2n)O(log^2n)O(log2n)的时间 考虑树链…

2020牛客暑期多校训练营(第一场)

文章目录A B-Suffix ArrayB Infinite TreeC DominoD Quadratic FormE Counting Spanning TreesF Infinite String Comparision题意&#xff1a;题解&#xff1a;代码&#xff1a;G BaXianGuoHai, GeXianShenTongH Minimum-cost FlowI 1 or 2J Easy Integration题意题解代码2020…

P4755-Beautiful Pair【笛卡尔树,线段树】

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4755 题目大意 nnn个数字的一个序列&#xff0c;求有多少个点对i,ji,ji,j满足aiaj≤max{ak}(k∈[l,r])a_i\times a_j\leq max\{a_k\}(k\in[l,r])ai​aj​≤max{ak​}(k∈[l,r]) 解题思路 如果构建一棵笛卡尔树的话那么两个点…