正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4831

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题目大意

$n\ast m$的网格上放置$2n$个炮，要求互不能攻击。

数据满足$n\le m\le 2000$或$n\le m\le 10^5$且$m-n\le 10$

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解题思路

每行每列最多$2$个炮，所以模型可以转换为求有多少种方案满足：$1\sim n$的数字各两个填在$m$个无序2元组（可以有空），并且每个组中的数互不相同。

直接硬钢推式子很难做（好像可以推到生成函数那边去），考虑一下巧妙的方法。

设$g(n,m)$表示$2n$个格子填下$1\sim m$中的数字各两个的方案。这个的方案就是
g(n,m)=(2n)!∑i=0min{n,m−n}(mn−i)(m−n+i2i)2n−ig(n,m)=(2n)!\sum_{i=0}^{min\{n,m-n\}}\frac{\binom{m}{n-i}\binom{m-n+i}{2i}}{2^{n-i}}g(n,m)=(2n)!i=0∑min{n,m−n}​2n−i(n−im​)(2im−n+i​)​
表示$m$个数组中选出$n-i$对相同的来填，剩下的里面选出$2i$个单独的来填，然后交换导致重复的情况有$2^{n-i}$种，要除去。

这个式子就和$m-n$有很大的关系了。

将这个式子和答案联系起来，设$f(n,m)$表示答案，那么有
$$g(n,m)=\sum _{i=0}^n{2}^{n-i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)P_m^{i}f(n-i,m-i)$$
因为$f(n,m)$是不同无序二元组，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)P_m^i$表示$n$对中选出$i$个是相同的填入，剩下的都是不同的方案就是$f(n-i,m-i)$，然后因为$g$是统计有序二元组的，所以$2^n$表示随意交换。

$$2^{n}f(n,m)=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)P_m^{i}g(n-i,m-i)$$
$$f(n,m)=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)P_m^{i}g(n-i,m-i)$$

然后直接计算就好了，时间复杂度O(n×min{n,m−n})O(n\times min\{n,m-n\})O(n×min{n,m−n})

$Update:$修改了反演前的公式错误

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353,inv2=(P+1)/2;
ll n,m,fac[N],inv[N],pv2[N],ans;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
ll A(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[n-m]%P;}
ll g(ll n,ll m){ll ans=0;for(ll i=0;i<=min(n,m-n);i++)(ans+=C(m,n-i)*C(m-n+i,2*i)%P*pv2[n-i]%P)%=P;return ans*fac[2*n]%P;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;fac[0]=inv[0]=pv2[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P,pv2[i]=pv2[i-1]*inv2%P;for(ll i=0,p=1;i<=n;i++,p=-p)(ans+=p*(g(n-i,m-i)*C(n,i)%P*A(m,i)%P))%=P;printf("%lld\n",(ans*pv2[n]%P+P)%P);return 0;
}