正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11161/C

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题目大意

$n$个点加$m$条边使得不存在环，每种方案的权值是所有联通块的大小乘积。

求所有方案的权值和。

$1\le n\le 10^9,1\le m\le 10^7$

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解题思路

就是分成$n-m$个树，然后权值比较麻烦。

但是发现权值是大小，所以可以理解为有根树，这样就是纯粹的求方案数了。

然后我们还可以优化，设虚根$0$，我们限制其度数为$n-m$就可以分为$n-m$个有根树了。

所以用$Prufer$序列统计的话方案数就是
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right)\times n^m$$

时间复杂度$O(n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7;
ll n,m,C,inv[11000000];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);ll C=1;for(ll i=1;i<=m;i++)C=C*(n-i)%P;inv[1]=1;for(ll i=2;i<=m;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P,C=C*inv[i]%P;printf("%lld\n",C*power(n,m)%P);
}