正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7444

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题目大意

一个长度为$n$的排列，已知每个$c_i$表示那个排列中$mex$为$i$的区间个数。求满足条件的排列个数

$1\le n\le 5\times 10^5,c_i\ge 0,{\sum }_{i=1}^n{c}_i=\frac{n(n+1)}{2}-1$

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解题思路

考虑一个朴素的$dp$，设$f_{i,l,r}$表示加入了$1\sim i$，然后最大区间是$[l,r]$时的方案。

那么每次插入一个数$i$的时候如果$c_i=0$那么它一定在目前的最大区间里，否则需要扩展到区间外，每次有往左或者往右扩展。

不难发现对于$1\sim i$扩展到$l$，那么$r$是固定的，所以我们可以直接用$f_{i,l}$来表示状态，但是这样还是$O(n^2)$的，其实状态数比较少的，因为对于一个$i$来说需要扩展的$a_i$都是一些倍数形的。

其实总状态数不会超过${\sum }_{i=1}^n\sqrt{a_i}$，因为上限很难到，所以用个$vector$记录一下状态就能够过了

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10,P=998244353;
ll n,a[N],f[2][N],ed[2][N],vis[N];
vector<int> v[2]; 
signed main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);ll Ans=0,s=0;for(ll i=1;i<=n;i++){ll l=i-1,r=n-i;if(l*(l+1)+r*(r+1)==a[0]*2)s=i,Ans++;}if(!Ans)return puts("0")&0;f[0][s]=1;ed[0][s]=s;v[0].push_back(s);for(ll i=1;i<n-1;i++){v[i&1].clear();for(ll p=0;p<v[~i&1].size();p++){ll l=v[~i&1][p],r=ed[~i&1][l];if(vis[l]==i)continue;vis[l]=i;if(!a[i]){if(r-l-i<0)continue;(f[i&1][l]+=f[~i&1][l]*(r-l-i+1)%P)%=P;ed[i&1][l]=r;v[i&1].push_back(l);}else{ll lk=l,rk=n-r+1;if(a[i]%lk==0){ll nr=r+a[i]/lk;(f[i&1][l]+=f[~i&1][l])%=P;ed[i&1][l]=nr;v[i&1].push_back(l);} if(a[i]%rk==0){ll nl=l-a[i]/rk;(f[i&1][nl]+=f[~i&1][l])%=P;ed[i&1][nl]=r;v[i&1].push_back(nl);}}}for(ll p=0;p<v[~i&1].size();p++)f[~i&1][v[~i&1][p]]=0;}ll ans=0;for(ll i=1;i<=n;i++)(ans+=f[(n-2)&1][i])%=P;printf("%lld\n",ans*Ans%P);return 0;
}