F. Pairwise Modulo

想到了，但又没完全想到。。wtcl

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首先 $p_k=p_{k-1}+{\sum }_{1\le i<k}{a}_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i+{\sum }_{1\le i<k}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_k$

${\sum }_{1\le i<k}{a}_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i={\sum }_{1\le i<k}(a_k-\lfloor \frac{a_k}{a_i}\rfloor a_i)=(k-1)a_k-s$

考虑如何计算$s={\sum }_{1\le i<k}\lfloor \frac{a_k}{a_i}\rfloor a_i$

如果$k{a}_i\le a_k<(k+1)a_i$那么$\lfloor \frac{a_k}{a_i}\rfloor a_i=k{a}_i$，这个东西用树状数组维护一下，不太容易描述，详细看代码。

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${\sum }_{1\le i<k}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_k={\sum }_{1\le i<k}(a_i-\lfloor \frac{a_i}{a_k}\rfloor a_k)={\sum }_{1\le i<k}{a}_i-t$

考虑如何计算$t={\sum }_{1\le i<k}\lfloor \frac{a_i}{a_k}\rfloor a_k$

不但发现对于任意两个数$u,v$来说有下面规律$\lfloor \frac{u}{v}\rfloor v=kv,u\le kv<(k+1)v$

枚举k，我们只需用统计出{ai,1≤i<k}\{a_i,1\leq i<k\}{ai​,1≤i<k}每段区间$a_i$的个数，就可以计算$t$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
template <class T=int> T rd()
{T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg;
}
const int N=300010;
template <typename T=int>
struct Fenwick
{const int n;T t[N];Fenwick(int n):n(n){memset(t,0,sizeof t);}void add(int k,T v){for(;k<=n;k+=k&-k) t[k]+=v;}T qsum(int k){T v=0;for(;k;k-=k&-k) v+=t[k];return v;}T get(int l,int r){return qsum(r)-qsum(l-1);}
};
int n;
int a[N];
int main()
{n=rd();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd();Fenwick<ll> f1(300000),f2(300000); //f1计算s f2计算tll pre=0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){ans+=1ll*a[i]*(i-1);//s_1ans+=pre;//t_1ans-=f1.qsum(a[i]);// s_2for(int j=a[i];j<=300000;j+=a[i]){int l=j,r=min(300000,j+a[i]-1);ans-=f2.get(l,r)*j;//t_2f1.add(l,a[i]);}f2.add(a[i],1);pre+=a[i];printf("%lld%c",ans," \n"[i==n]);}return 0;
}