正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5748

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题目大意

求将$n$的排列分成若干个无序非空集合的方案。

输出答案对$998244353$取模。

$1\le n\le 10^5,1\le T\le 1000$

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解题思路

就是求划分数
分成$i$个集合的方案是$(e^x-1{)}^i$所以答案的生成函数就是
$$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(e^x-1{)}^i}{i!}$$
emmmmmmmmmmm…
怎么看上去这么眼熟，所以
$$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{(e^x-1{)}^i}{i!}=e^{e^x-1}$$

然后写个多项式exp就好了

时间复杂度$O(n\log n)$

到此本题目已经结束了，但是我们可以换一种方式来做

我们知道$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$是把$n$分成$m$个非空集合的方案数
所以这这题其实是在求
$$\sum _{i=1}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}$$
这个东西应该也很好做，斯特林数有通项
$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^{m-k}{k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$$
$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i!}\sum _{j=0}^i(-1{)}^{i-j}{j}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$$
然后拆开组合数化简一下就是
$$\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i\frac{j^n}{j!}\times \frac{(-1{)}^{i-j}}{(i-j)!}$$
然后卷积就好了。
具体化简过程和P4091-求和很像，这里就不多赘述了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=8e5+10,P=998244353;
ll T,n,f[N],g[N],r[N];
ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void GetL(ll l){n=1;while(n<=l)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);return;
}
void NTT(ll *f,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=f[i+len]*buf%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}GetInv(f,g,m>>1);GetL(m);for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=g[i],t2[i]=f[i];NTT(t1,1);NTT(t2,1);for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t1[i]*t1[i]%P*t2[i]%P;NTT(t1,-1);for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-t1[i]+P)%P;for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll m){for(ll i=0;i<m-1;i++)g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;g[m-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll m){for(ll i=1;i<m;i++)g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){GetD(f,t3,m);GetInv(f,t4,m);GetL(m);NTT(t3,1);NTT(t4,1);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i]%P;NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;return;
}
void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){if(m==1){g[0]=1;return;}GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];GetL(m);NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;for(ll i=0;i<n;i++)t5[i]=t6[i]=0;return;
}
signed main()
{ll m=1;while(m<=1e5)m<<=1;f[1]=1;GetExp(f,g,m);(g[0]+=P-1)%=P;f[1]=0;GetExp(g,f,m);for(ll i=1,F=1;i<=m;i++,F=F*i%P)f[i]=f[i]*F%P;scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);printf("%lld\n",f[n]);}return 0;
}