最短路问题

1.dij算法

用于单源最短路
仅适用于没有负边权的情况
初始化dis数组为inf，dis【起点】=0；
tool：priority-queue（按dis升序）
先把起点放进队列
每次取出排头now，枚举它能去的地方v；
如果——

dis[v]>dis[now]+p[i].w

说明目前从now走到v更优，就更新它，并入队
最后now出列，并永远不要回来（用人话说就是判重）

模板

void dij(){for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INT_MAX;memset(jd,0,sizeof(jd));dis[s] = 0;priority_queue<pr,vector<pr>,greater<pr> >q;q.push(make_pair(0,s));int tot=0;while(!q.empty()){int now=q.top().second;q.pop();if(jd[now]) continue;jd[now]=1;for(int i=fi[now];~i;i=p[i].nxt){int v=p[i].to;//printf("#%d %d %d\n",p[i].nxt,now,v);if(dis[v]>dis[now]+p[i].w){dis[v]=dis[now]+p[i].w;q.push(make_pair(dis[v],v)); }}}
}

（关于链式前向星存图，请移步这里

证明

因为没有负权
所以当前dis最小的值以后不可能从别的地方再更新
所以每次都取最小的，每个就只需取一次（n）

备注

因为优先队列操作复杂度带个log，所以
总复杂度为：O（nlogn）

从证明也可以看出，dij只适用于正权，那么有负权是怎么办？
可以使用——

2.SPFA

~~“spfa已经死了”~~
和dij其实很类似，只是他不用优先队列，也不判重，只要枚举出度满足上面那个关系式就可以进队（当然，已经在的不要再进了）
当队列为空结束

代码

void spfa(double x){queue<int>q;mem(jd,1);for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=(double)inf;mem(nm,0);for(int i=0;i<m;i++){p[i].w -= x;}for(int i=1;i<=n;i++){q.push(i);}while(!q.empty()){int now=q.front();q.pop();jd[now]=0;for(int i=fi[now];~i;i=p[i].nxt){int v=p[i].to;if(dis[v]>=dis[now]+p[i].w){dis[v]=dis[now]+p[i].w;if(jd[v]==0) q.push(v);}}}for(int i=0;i<m;i++) p[i].w +=x;return;
}

证明

因为不去重，队列还是空了，说明已经没有任何两对满足更新的关系式~~（暴力有什么好证明的）~~

备注

复杂度十分玄学不稳定
在特殊构造和稠密图可能卡成O（mn）
直接裂开（2018NOIP血的教训）
所以尽量还是用dij吧

floyd

多源！！！！
代码《过于冗长》，直接看着代码解释吧。。。

代码

for(int k = 1; k <= n; ++k)for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

证明

~~（想不明白直接背）~~
dp[i][j][k]是从i到j经过中转编号最大值为k的最短路
那么dp[i][j][k]更新到dp[i][j][k+1]就是看看经过k+1会不会更优呗
所以就是上面那个状态转移方程
最后dp[i][j][n]就是最终的最短路

踩蛋

~~（这个不是王建国写的）~~

负环

如果存在一个总权值为负值的环，那么所有能碰到该环的两点的最短路都会是无穷小（~~大风车吱吖吱悠悠的转~~ ）
此时spfa就会出现死循环
所以需要特殊判断负环
如果一条路径经过的点大于n，显然它是经过了环
而你算着算着最短路它为啥溜号去跑环了呢？一定是出现了负环
从而进行判断
关于代码实现，我们可以在更新时加一行转移：

nm[v]=nm[now]+1

代码

bool spfa(){queue<int>q;mem(jd,0);for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;mem(nm,0);q.push(1);jd[1]=1;dis[1]=0;while(!q.empty()){int now=q.front();q.pop();jd[now]=0;for(int i=fi[now];~i;i=p[i].nxt){int v=p[i].to;if(dis[v]>dis[now]+p[i].w){dis[v]=dis[now]+p[i].w;nm[v]=nm[now]+1;if(jd[v]==0) q.push(v);if(nm[v]>=n){return true;}}}}return false;
}