【做题记录】[SCOI2009]围豆豆

[SCOI2009]围豆豆

\(n\times m(n,m\le 10)\) 的网格中有 \(d\) 个球 \((d\le 9)\)，要求在网格中选定一个起点开始做一个欧拉回路，路径的价值为路径完全包住的球的价值之和减去路径长度，求所有路径中的价值最大值。

有价值与步数的两个限制，首先想着把其中一个作为状态控制变量。

由于起点关系回程，所以 \(\bigstar\texttt{important}\)：枚举起点寻找答案。

控制了起点和状态，容易想到设 \(dp(i,j,state)\) 表示从起点到坐标为 \((i,j)\) 的点，且这半条路径包含的点的集合为 \(state\) 时的最小步数。

\(\uparrow\) 因为路径是一个多边形，用计算几何的方法判断每个点是否在多边形内部，即从这个点向左侧做射线，进过边的数量为奇数时在内部。(由于这是网格，所以特殊情况时，如果这条线断平行则不计算，不平行则计算)。

之后用上边的 \(dp\) 直接暴力 bfs 即可。

$\texttt{code}$

#define Maxn 15
#define Maxsta 1005
int n,m,d,ans;
int v[Maxn],ax[Maxn],ay[Maxn],ds[Maxn][Maxn][Maxsta];
int zou[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
char mp[Maxn][Maxn];
struct Dot { int x,y,State,ds; };
inline int calc(int sx,int sy,int tx,int ret)
{for(int i=1;i<=d;i++){if((sx==ax[i] && tx<ax[i] && sy<ay[i]) || (sx<ax[i] && tx==ax[i] && sy<ay[i]))ret^=1<<(i-1);}return ret;
}
inline int Count(int State)
{int ret=0;for(int i=1;i<=d;i++) if(State & (1<<(i-1))) ret+=v[i];return ret;
}
void bfs(int sx,int sy)
{memset(ds,0x3f,sizeof(ds)),ds[sx][sy][0]=0;queue<Dot> q; q.push((Dot){sx,sy,0,0});while(!q.empty()){Dot cur=q.front(); q.pop();for(int i=0,nx,ny,ns;i<4;i++){nx=cur.x+zou[i][0],ny=cur.y+zou[i][1];if(nx<1 || nx>n || ny<1 || ny>m || mp[nx][ny]!='0')continue;ns=calc(cur.x,cur.y,nx,cur.State);if(ds[nx][ny][ns]!=inf) continue;ds[nx][ny][ns]=cur.ds+1;q.push((Dot){nx,ny,ns,ds[nx][ny][ns]});}}
}
int main()
{n=rd(),m=rd(),d=rd();for(int i=1;i<=d;i++) v[i]=rd();for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);for(int i=1,num;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)if(isdigit(mp[i][j]))num=mp[i][j]-48,ax[num]=i,ay[num]=j;for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){bfs(i,j);for(int k=(1<<d)-1;k>=0;k--)ans=max(ans,Count(k)-ds[i][j][k]);}printf("%d\n",ans);return 0;
}