解析

~~顾名思义，十分毒瘤~~
但有一说一，相对来说这题没有之前做的那两个黑题那么（重读）恶心
而且本题如果放在考场上，暴力枚举非树边的状态dp就可以拿到70分的好成绩（改一改能改到75）

现在考虑正解
注意到，每次暴力枚举非树边的状态进行dp时，状态发生改变的其实来来回回就是少数的几个点而已
所以想到虚树
首先把非树边的端点作为特殊点建出虚树
如何转移呢？
考虑到，两个关键点u,v之间的“连边”是一条有分支的链
不能直接按定义正常转移
但是我们发现，只要这个链的形态不变， $dp_v$ 转移到 $dp_u$ 的系数是不变的
因此，我们可以预先暴力求出这个系数，再进行转移
注意到，所有转移加起来最多把整颗树都搜一遍，复杂度是 $O (n)$ 的

还要注意到，由于还有的点不在虚树上，所以关键点的dp初值不是1，还要单独求
这个比较好求，暴力往没有关键点的子树上搜索就行了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
const int N=1e6+100;
const int mod=998244353;
inline ll read(){ll x(0),f(1);char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}int n,m;struct node{int to,nxt;ll k[2][2];
} p1[N<<1],p2[10050];
int fi1[N],cnt1,fi2[N],cnt2;
inline void addline(int x,int y){p1[++cnt1]=(node){y,fi1[x]};fi1[x]=cnt1;return;
}ll dp[N][2];
int op[N],fa[N];
bool jd[N],vis[N];
//op=1:must not be chosen
//op=2:must be chosen
struct edge{int x,y;
} e[50];
int tot;int pos[N],tim;
int pl[N][18],dep[N],siz[N];
void find(int x,int from){vis[x]=1;pos[x]=++tim;for(int k=1;pl[x][k-1];k++) pl[x][k]=pl[pl[x][k-1]][k-1];siz[x]=1;for(int i=fi1[x]; ~i; i=p1[i].nxt) {if(i==(from^1)) continue;int to=p1[i].to;if(vis[to]) {if(!jd[i]) {jd[i]=jd[i^1]=1;e[++tot]=(edge){x,to};}} else{dep[to]=dep[x]+1;pl[to][0]=x;fa[to]=x;find(to,i);siz[x]+=siz[to];}}//printf("x=%d fa=%d\n",x,fa[x]);return;
}
inline int Lca(int x,int y){if(pos[x]<=pos[y]&&pos[y]<=pos[x]+siz[x]-1) return x;for(int k=17;k>=0;k--){int o=pl[x][k];if(!o||(pos[o]<=pos[y]&&pos[y]<=pos[o]+siz[o]-1)) continue;x=o;}return pl[x][0];
}ll ans;
int tag[N],Top;
void init(int x,int goal,int op){if(x==goal){dp[x][op]=1;dp[x][!op]=0;return;}dp[x][0]=dp[x][1]=1;for(int i=fi1[x];~i;i=p1[i].nxt){int to=p1[i].to;if(to==fa[x]||jd[i]) continue;if(x==Top&&tag[to]!=tim) continue;init(to,goal,op);(dp[x][0]*=(dp[to][0]+dp[to][1]))%=mod; (dp[x][1]*=dp[to][0])%=mod; }return;
}
void Tag(int x,int top){if(fa[x]==top) tag[x]=tim;else Tag(fa[x],top);
}
inline void Addline(int x,int y){p2[++cnt2]=(node){y,fi2[x]};//printf("  add:%d->%d\n",x,y);fi2[x]=cnt2;++tim;Tag(y,x);Top=x;init(x,y,0);p2[cnt2].k[0][0]=dp[x][0];p2[cnt2].k[0][1]=dp[x][1];init(x,y,1);p2[cnt2].k[1][0]=dp[x][0];p2[cnt2].k[1][1]=dp[x][1];//printf("%d->%d k[0][0]=%d k[0][1]=%d k[1][0]=%d k[1][1]=%d\n",x,y,p2[cnt2].k[0][0],p2[cnt2].k[0][1],p2[cnt2].k[1][0],p2[cnt2].k[1][1]);return;
}
void pre(int x){dp[x][0]=dp[x][1]=1;for(int i=fi1[x];~i;i=p1[i].nxt){int to=p1[i].to;if(tag[to]||to==fa[x]||jd[i]) continue;pre(to);(dp[x][0]*=(dp[to][0]+dp[to][1]))%=mod;(dp[x][1]*=dp[to][0])%=mod;}return;
}bool col[N];
bool cmp(int x,int y){return pos[x]<pos[y];
}
int v[N],zhan[N],top;ll ori[N][2];
void dfs(int x,int f){dp[x][0]=ori[x][0];dp[x][1]=ori[x][1];for(int i=fi2[x]; ~i; i=p2[i].nxt) {int to=p2[i].to;if(to==f) continue;dfs(to,x);dp[x][0]=((dp[to][0]*p2[i].k[0][0]%mod+dp[to][1]*p2[i].k[1][0]%mod)%mod*dp[x][0])%mod;dp[x][1]=((dp[to][0]*p2[i].k[0][1]%mod+dp[to][1]*p2[i].k[1][1]%mod)%mod*dp[x][1])%mod;}if(op[x]) {if(op[x]==1) dp[x][1]=0;else dp[x][0]=0;}//printf("  x=%d dp0=%lld dp1=%lld op=%d\n",x,dp[x][0],dp[x][1],op[x]);return;
}
int num;
void solve(int k) {if(k>num){//for(int i=1;i<=n;i++){//printf("  i=%d op=%d\n",i,op[i]);//}dfs(1,0);ll res=dp[1][0]+dp[1][1];ans+=res;ans%=mod;//printf("res=%lld\n\n",res);return;}int a=op[e[k].x],b=op[e[k].y];if(op[e[k].x]!=2){op[e[k].x]=1;//printf("(%d %d)\n",1,2);solve(k+1);op[e[k].x]=a;}if(op[e[k].x]!=1&&op[e[k].y]!=2){op[e[k].x]=2;op[e[k].y]=1;//printf("(%d %d)\n",2,1);solve(k+1);	op[e[k].x]=a;op[e[k].y]=b;}return;
}int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);
#endifmemset(fi1,-1,sizeof(fi1));cnt1=-1;memset(fi2,-1,sizeof(fi2));cnt2=-1;n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read();addline(x,y);addline(y,x);}find(1,-2);num=tot;tot=0;for(int i=1;i<=num;i++){int x=e[i].x,y=e[i].y;if(!col[x]) v[++tot]=x,col[x]=1;if(!col[y]) v[++tot]=y,col[y]=1;}if(!col[1]) v[++tot]=1;sort(v+1,v+1+tot,cmp);zhan[top=1]=v[1];//for(int i=1;i<=tot;i++) printf("%d ",v[i]);putchar('\n');for(int i=2;i<=tot;i++){int x=v[i],lca=Lca(x,zhan[top]);//printf("v[1]=%d x=%d lca=%d\n",v[1],x,lca);while(top>1&&dep[lca]<=dep[zhan[top-1]]){Addline(zhan[top-1],zhan[top]);top--;}if(lca!=zhan[top]){Addline(lca,zhan[top]);zhan[top]=lca;}zhan[++top]=x;//for(int i=1;i<=top;i++) printf("%d ",zhan[i]);putchar('\n');}//printf("ok");while(top>1){Addline(zhan[top-1],zhan[top]);top--;}for(int i=1;i<=n;i++){if(i!=1&&fi2[i]==-1&&!col[i]) continue;int x=i;pre(x);ori[x][0]=dp[x][0];ori[x][1]=dp[x][1];//printf("x=%d ori0=%lld ori1=%lld\n",x,ori[x][0],ori[x][1]);}solve(1);printf("%lld\n",ans);return 0;
}
/*
*/