problem

【题目描述】
你在 NOIP 2018 的赛场上遇到了「货币系统」一题。你没有写出这题，导致网友的国度简化货币系统的任务失败了。网友的国度的货币系统现在十分混乱。

网友的国度现今有两套货币系统「忘忧」和「网游」。为了方便使用，它们有一个共用的货币单位「𰻞」，而且二者都可以凑出价值任意整数𰻞的货币。

你现在希望用人民币来兑换一些网友的国度的货币。你需要兑换多次，每次恰好兑换 1 𰻞。

忘忧和网游的汇率互相独立，而且会动态改变。具体而言：

• 第一次兑换忘忧，1 𰻞花费 a 元；由于网友的国度持有的忘忧变少了，因此其价格
  上涨：每兑换 1 𰻞，下一𰻞的价格涨价 b 元；
  形式化地，第 i 次兑换忘忧的价格是一𰻞 b(i −1) + a 元。
• 第一次兑换网游，1 𰻞花费 c 元；由于网友的国度持有的网游变少了，因此其价格上涨：每兑换 1 𰻞，下一𰻞的价格涨价 d 元；形式化地，第 i 次兑换网游的价格是一𰻞 d(i −1) + c 元。

为了能够随机应变，你希望提前知道给出的 q 种 a, b, c, d 下，用 x 元钱分别最多能兑换多少𰻞。

每次询问相互独立

【输入格式】

第一行一个正整数 q，表示有 q 个询问。

接下来 q 行，每行 5 个正整数 a, b, c, d, x，分别表示忘忧、网游的汇率变化方式和你所拥有的钱。

【输出格式】

输出共 $q$ 行，分别表示每次询问中你最多能兑换到多少𰻞。

$1\le a,b,c,d,x\le 10^{18}，1\le q\le 10^5$

solution

看到这种两个函数都是单增的，且最后总限制为 $x$。

我就想到了 CSP-S 2021 T1，当时我就是采取的三分骗到了不错的分数。

这道题看起来似乎与二分/三分很有关联。

但是这两个函数不能拼成一个单调或有峰值的函数，能够直接做。

很妙的是，直接二分花费最大值 $mid$。

让两种物品的单个兑换最大花费不超过 $mid$。

先计算出每种物品最多能买多少个，最大的那个花费不超过 $mid$，然后可以等差数列 $O(1)$ 计算出。

具体而言，假设最多能买 $i$ 个，即 $b(i-1)+a\le mid$。

花费则为 ${\sum }_{k=1}^{i}b(k-1)+a={\sum }_{k=1}^{i}bk+(a-b)\ast i=\frac{(b+b\ast i)i}{2}+i\ast (a-b)$。

再把两种物品的花费求和，与 $x$ 限制比较。

当然可能会剩下一点 $r$，也许还可以再买两种物品中的一个，特判一下。

最开始求最大花费不超过 $mid$ 的物品个数也请注意写法。——来自伞兵博主。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int __int128
int q, x, a, b, c, d, ans;void read( int &x ) {x = 0; char s = getchar();while( s < '0' or s > '9' ) s = getchar();while( '0' <= s and s <= '9' ) x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( s - '0' ), s = getchar();
}void print( int x ) {if( x > 9 ) print( x / 10 );putchar( x % 10 + '0' );
}bool check( int v ) {int i = max( (int)0, ( v - a ) / b + 1 );int j = max( (int)0, ( v - c ) / d + 1 );if( i and b * ( i - 1 ) + a > v ) i --;if( j and d * ( j - 1 ) + c > v ) j --;int cost = ( i + 1 ) * b * i / 2 + i * ( a - b ) + ( j + 1 ) * d * j / 2 + j * ( c - d );if( cost > x ) return 0;int r = x - cost, tot = i + j;if( r >= b * i + a ) r -= b * i + a, tot ++, i ++;if( r >= d * j + c ) r -= d * j + c, tot ++, j ++;ans = max( ans, tot );return 1;
}signed main() {freopen( "money.in", "r", stdin );freopen( "money.out", "w", stdout );read( q );while( q -- ) {read( a ), read( b ), read( c ), read( d ), read( x );int l = 0, r = x; ans = 0;while( l <= r ) {int mid = ( l + r ) / 2;if( check( mid ) ) l = mid + 1;else r = mid - 1;}print( ans );puts("");}return 0;
}