problem

给定 $m$ 条规则形如 $(l_i,r_i,a_i)$，对于一个 01 串，其分数的定义是：对于第 $i$ 条规则，若该串在 $[l_i,r_i]$ 中至少有一个 1，则该串的分数增加 $a_i$。

你需要求出长度为 $n$ 的 01 串中的最大分数。

$1\le n,m\le 2\times 10^5,|a_i|\le 10^9$。

solution

设 $f(i,j):$ 到 $i$ 为止最后一个 $1$ 出现位置为 $j$ 的最大分数。

像这种 $[l,r]$ 的限制，遇到线段树/树状数组，我们一般是化段为点，挂在 $l/r/l-1/r+1$ 点上，具体要看题目了。

主要就是为了避免重复计算一个限制的贡献。

这里我们不妨在 $r$ 的时候再加上 $[l,r]$ 的贡献。

依次做以下两个转移：
$$\{\begin{array}{l}f(i,i)={\max }_{j<i}\{f(i-1,j)\}\\ f(i,j)=f(i,j)+{\sum }_{r_k=i,l_k\le j}{a}_k\end{array}$$
这种形式多半也能往线段树上靠。

具体而言：把 $f(\ast ,j)$ 放到线段树上。 $j$ 做下标，表示当前最后一个 $1$ 填在 $j$ 位置的方案数。

• 对于第一种转移，直接查询线段树最大值，然后更新 $i$ 位置。
• 对于第二种转移，将所有 $r=i$ 的 $[l,r]$ 规则进行 $[l,i]$ 的区间加操作。

答案即为最后的全局最大值。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 200005
int n, m;
vector < pair < int, int > > g[maxn];
int Max[maxn << 2], tag[maxn << 2];
#define lson now << 1
#define rson now << 1 | 1
#define mid  (l + r >> 1)
void pushdown( int now ) {tag[lson] += tag[now];tag[rson] += tag[now];Max[lson] += tag[now];Max[rson] += tag[now];tag[now] = 0;
}
void modify( int now, int l, int r, int L, int R, int v ) {if( R < l or r < L ) return;if( L <= l and r <= R ) { tag[now] += v; Max[now] += v; return; }pushdown( now );modify( lson, l, mid, L, R, v );modify( rson, mid + 1, r, L, R, v );Max[now] = max( Max[lson], Max[rson] );
}
void modify( int now, int l, int r, int p, int v ) {if( l == r ) { Max[now] = max( Max[now], v ); return; }pushdown( now );if( p <= mid ) modify( lson, l, mid, p, v );else modify( rson, mid + 1, r, p, v );Max[now] = max( Max[lson], Max[rson] );
}
signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1, l, r, a;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld %lld", &l, &r, &a );g[r].push_back( make_pair( l, a ) );}for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {modify( 1, 0, n, i, Max[1] );for( auto it : g[i] ) modify( 1, 0, n, it.first, i, it.second );}printf( "%lld\n", Max[1] );return 0;
}