problem

luogu-P6624

小 W 刚刚在离散数学课学习了生成树的知识：一个无向图 $G=(V,E)$ 的生成树 $T$ 为边集 $E$ 的一个大小为 $|V|-1$ 的子集，且保证 $T$ 的生成子图在 $G$ 中连通。

小 W 在做今天的作业时被这样一道题目难住了：

给定一个 $n$ 个顶点 $m$ 条边（点和边都从 $1$ 开始编号）的无向图 $G$，保证图中无重边和无自环。每一条边有一个正整数边权 $w_i$，对于一棵 $G$ 的生成树 $T$，定义 $T$ 的价值为：$T$ 所包含的边的边权的最大公约数乘以边权之和。

即：$val(T)=\left(\sum _{i=1}^{n-1}{w}_{e_i}\right)\times \gcd (w_{e_1},w_{e_2},\dots ,w_{e_{n-1}})$。

其中 $e_1,e_2,\dots ,e_{n-1}$ 为 $T$ 包含的边的编号。

小 W 需要求出 $G$ 的所有生成树 $T$ 的价值之和，他做了很久也没做出来，请你帮帮他。

由于答案可能很大，你只需要给出答案对 998244353 取模后的结果。

solution

众所周知：${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$
$$\sum _T\sum _{i=1}^{n-1}{w}_{e_i}\times \gcd (w_{e_1},w_{e_2},...,w_{e_{n-1}})$$

$$=\sum _{i=1}^{n-1}{w}_{e_i}\times \sum _{d\mid w_{e_1}\wedge \cdots \wedge d\mid w_{e_{n-1}}}\phi (d)$$

=∑d=1max⁡{wi}d∑T∧d∣we1⋯∧d∣wen−1∑i=1n−1wei=\sum_{d=1}^{\max\{w_i\}}d\sum_{T\wedge d\mid w_{e_1}\dots\wedge d\mid w_{e_{n-1}}}\sum_{i=1}^{n-1}w_{e_i} =d=1∑max{wi​}​dT∧d∣we1​​⋯∧d∣wen−1​​∑​i=1∑n−1​wei​​

外层枚举 $d$，内层则是求所有生成树的边权和。

矩阵树定理：

• 若为无向图，求生成树个数。

  $a(i,j)=-m(i,j)$，其中 $m(i,j):i,j$ 之间有多少边，$a(i,i)=i$ 的度数。

  随意去除矩阵 $a$ 的某一行某一列（习惯上是去掉最后一行最后一列）后，生成树个数即为新矩阵的行列式。

• 若为有向图，给定根，求外向生成树（出度为 $1$）个数。

  $a(i,j)=-m(i,j)$，其中 $m(i,j):i,j$ 之间有多少边，$a(i,i)=i$ 的入度度数。

  去掉根所在的行和列后的矩阵行列式即为答案。

• 若为有向图，给定根，求内向生成树（入度为 $1$）个数。

  $a(i,j)=-m(i,j)$，其中 $m(i,j):i,j$ 之间有多少边，$a(i,i)=i$ 的出度度数。

  去掉根所在的行和列后的矩阵行列式即为答案。

事实上，矩阵树定理求出的行列式可以是所有生成树边权积的和，求生成树个数只是钦定所有 $w_{e_i}=1$ 罢了。

但这里是让求所有生成树边权和的和。

所以我们可以构造生成函数 $(1+w_{i}x)$ 表示第 $i$ 条边的边权。

然后求行列式，这样一次项的系数即为答案。

对于 $(a+bx)$ 四则运算：

• 加减法照样相应位加减。
• 乘法 $(a+bx)(c+dx)=ac+(dc+ad)x$ ，二次项直接抛掉即可。
• 除法 $\frac{a+bx}{c+dx}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}x$，同理直接抛掉二次项。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
#define Pair pair < int, int >
#define maxn 500
#define maxv 153000
int n, m, cnt;
int phi[maxv], vis[maxv], prime[maxv];
int u[maxn], v[maxn], w[maxn], g[maxv];
Pair a[maxn][maxn];int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}Pair operator + ( Pair x, Pair y ) {return make_pair( (x.first + y.first) % mod, (x.second + y.second) % mod );
}
Pair operator - ( Pair x, Pair y ) {return make_pair( (x.first - y.first) % mod, (x.second - y.second) % mod );
}
Pair operator * ( Pair x, Pair y ) {return make_pair( x.first * y.first % mod, (x.first * y.second + x.second * y.first) % mod );
}
Pair operator / ( Pair x, Pair y ) {int inv = qkpow( y.first, mod - 2 );return make_pair( x.first * inv % mod, (x.second * y.first - x.first * y.second) % mod * inv % mod * inv % mod );
}void divide( int x ) {for( int i = 1;i * i <= x;i ++ )if( x % i == 0 ) {++ g[i];if( i * i != x ) ++ g[x / i];}
}void sieve( int n ) {phi[1] = 1;for( int i = 2;i <= n;i ++ ) {if( ! vis[i] ) phi[i] = i - 1, prime[++ cnt] = i;for( int j = 1;j <= cnt and i * prime[j] <= n;j ++ ) {vis[i * prime[j]] = 1;if( i % prime[j] == 0 ) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}elsephi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];}}
}int Guass( int n ) {Pair ans = make_pair( 1, 0 );int tag = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( ! a[i][i].first ) {for( int j = i + 1;j <= n;j ++ )if( a[j][i].first ) {tag ^= 1;swap( a[i], a[j] );break;}}for( int j = i + 1;j <= n;j ++ ) {Pair o = a[j][i] / a[i][i];for( int k = i;k <= n;k ++ )a[j][k] = a[j][k] - o * a[i][k];}ans = ans * a[i][i];}ans = tag ? make_pair( 0, 0 ) - ans : ans;return ans.second;
}int solve( int x ) {memset( a, 0, sizeof( a ) );for( int i = 1;i <= m;i ++ )if( w[i] % x == 0 ) {a[u[i]][u[i]] = a[u[i]][u[i]] + make_pair( 1, w[i] );a[v[i]][v[i]] = a[v[i]][v[i]] + make_pair( 1, w[i] );a[u[i]][v[i]] = a[u[i]][v[i]] - make_pair( 1, w[i] );a[v[i]][u[i]] = a[v[i]][u[i]] - make_pair( 1, w[i] );}return Guass( n - 1 );
}signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );int Max = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld %lld", &u[i], &v[i], &w[i] );divide( w[i] );Max = max( Max, w[i] );}sieve( Max );int ans = 0;for( int i = 1;i <= Max;i ++ )if( g[i] >= n - 1 ) (ans += solve( i ) * phi[i]) %= mod;printf( "%lld\n", (ans + mod) % mod );return 0;
}