引入

任意给定一个无限长的序列 $a_{0},a_{1}....a_{n}....$
定义函数 $g(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}+...$
这是一个无穷级数，一般设x的取值范围为：-1<x<1。显然这个无穷级数收敛，我们可以在x取向正无穷时得到该无穷级数的值
我们称这个函数g(x)为序列的生成函数
我们不难看出
这么讲太抽象了，看一些例题就知道了

例题：

例题1 ：砝码问题：

有三个砝码，分别是1g，2g，3g，求用这三个砝码一共能凑出多少个不同重量，并求每个重量的组成方案

用生成函数来解决这个问题：
我们将这个问题拆分成几个独立的子问题，然后利用乘法原理计算。在本题中，利用乘法原理来考虑每个砝码的选择方式。
在生成函数中，乘法原理可以映射到多项式乘法
对于每个砝码有选和不选两个方式
1个1g砝码可以看作是 $f1=x^0+x^1$ , $x^0$ 表示不取(重量为0)， $x^1$ 表示只取一个
1个2g砝码可以看作是 $f2=x^0+x^2$ , $x^0$ 表示不取， $x^2$ 表示只取两个
1个3g砝码可以看作是 $f3=x^0+x^3$ , $x^0$ 表示不取， $x^3$ 表示只取三个
那么生成函数就是每个方案数的乘积：
$g(x)=f1*f2*f3=(1+x^1)*(1+x^2)*(1+x^3)=1+x+x^2+2x^3+x^4+x^5+x^6$
最终算式中的 $1+x+x^2+2x^3+x^4+x^5+x^6$ 就说明了0g的方案是1，3g的方案是2， $s$ 克的方案数就是 $ax^s$ 的系数a，指数表示重量，系数表示方案数

例题2：砝码升级版

有三个砝码，分别是1g(共两个)，2g(无数个)，3g(共一个)，求凑出4g重量的组成方案数
生成函数：
$f1=(1+x+x^2)$
$f2=(1+x^2+x^4+x^6+......)$
$f3=(1+x^3)$
$f=f1*f2*f3=(1+x+x^2)*(1+x^2+x^4+x^6+......)*(1+x^3)$
凑出4g重量的组成方案数有：
$1 ,x^4,1$
$x,1,x^3$
$x^2,x^2,1$
一共有三个方案， $x^4$ 的系数是3

例题3：苹果选择

现在有n种苹果，每种苹果无限个，问选k个苹果的方案数

方法一（隔板法）：

我们先不用生成函数，用组合数来做：
我们设第i种苹果选了xi个，那么有 $∑i=1nxi=k,xi>=0\sum_{i=1}^{n}x_{i}=k,x_{i}>=0$
我们用隔板法来做，需要 $x_{i}大于0$
我们令 $a_{i}=x_{i}+1$
有： $∑i=1nai=k+n,ai>0\sum_{i=1}^{n}a_{i}=k+n,a_{i}>0$
这个我们可以看作是有k+n个小球，现在有n个桶，必须保证每个桶至少有一个球，方案数为： $C_{k+n-1}^{n-1}$
$∑i=1nai=k+n,ai>0\sum_{i=1}^{n}a_{i}=k+n,a_{i}>0$ 方程组解的个数就是方案数

隔板法讲解：
这是隔板法的模板，做法就是看作有n-1个隔板，k+n个球有k+n-1个间隙，将这个n-1个隔板插入到k+n-1个间隙中，这样就会分割出n个空间,每个空间至少有一个小球。方案数就是：k+n-1个间隙中选出n-1个位置放隔板， $C_{k+n-1}^{n-1}$

方法二（生成函数）：

$f1=(1+x1+x2+x3+....)=1−xn1−x=11−x,n取向无穷大f1=(1+x^1+x^2+x^3+....)=\frac{1-x^{n}}{1-x}=\frac{1}{1-x},n取向无穷大$
$f2=11−xf2=\frac{1}{1-x}$
…
$f=f1∗f2∗...∗fn=1(1−x)n=a0+a1∗x+...+akk+..=∑k∞Ck+n−1n−1xkf=f1*f2*...*fn=\frac{1}{(1-x)^n}=a_{0}+a_{1}*x+...+a_{k}^k+..=\sum_{k}^{∞}C_{k+n-1}^{n-1}x^{k}$
我们刚才用隔板法求出每种方案数：
所以： $a_{k}=C_{k+n-1}^{n-1}$

总结：

生成函数大多用来解决有限或者无线物品的组合方案
$生成函数⇔原问题分解为若干个子问题⇔求每个子问题的生成函数⇔所有子问题生成函数乘起来就是总方案数生成函数\Leftrightarrow原问题分解为若干个子问题\Leftrightarrow求每个子问题的生成函数\Leftrightarrow所有子问题生成函数乘起来就是总方案数$

生成函数常用公式：

高等数学基本上都学过

普通型生成函数：

单下标序列普通型生成函数：

$A(x)=∑n=0∞anxnA(x)=\sum_{n=0}^{∞}a_{n}x^n$

双下标序列普通型生成函数：

$A(x1,x2)=∑n=0∞a(n,m)x1nx2mA(x_{1},x_{2})=\sum_{n=0}^{∞}a_{(n,m)}x_1^nx_2^m$

普通型生成函数常用公式：

$11−x=∑i=0∞xi\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{∞}x^i$

指数型生成函数：

二项式定理:

$(x+y)n=∑i=1nCniaibn−i(x+y)^n=\sum_{i=1}^{n}C_{n}^ia^ib^{n-i}$
$(x+1)n=∑i=0nCnixi(x+1)^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^ix^i$
$1(1−x)n=∑i=0∞Cn+i−1ixi\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^{∞}C_{n+i-1}^{i}x^{i}$