P2000 拯救世界

题意：

为了拯救世界，小 a 和 uim 决定召唤出 kkksc03 大神和 lzn 大神。根据古籍记载，召唤出任何一位大神，都需要使用金木水火土五种五行神石来摆一个特定的大阵。而在古籍中，记载是这样的：

kkksc03 大神召唤方法：

金神石的块数必须是 6 的倍数。

木神石最多用 9 块。

水神石最多用 5 块。

火神石的块数必须是 4 的倍数。

土神石最多用 7 块。

lzn 大神召唤方法:

金神石的块数必须是 2 的倍数。

木神石最多用 1 块。

水神石的块数必须是 8 的倍数。

火神石的块数必须是 10 的倍数。

土神石最多用 33块。

现在是公元 1999 年 12 月 31 日，小 a 和 uim 从 00:00:00 开始找，一直找到 23:00:00，终于，还是没找到神石。不过，他们在回到家后在自家地窖里发现了一些奇怪的东西，一查古籍，哎呦妈呀，怎么不早点来呢？这里有一些混沌之石，可以通过敲击而衰变成五行神石。于是，他们拼命地敲，终于敲出了n块神石，在 23:59:59 完成了两座大阵。然而，kkksc03 大神和 lzn 大神确实出现了，但是由于能量不够，无法发挥神力。只有把所有用 n 块神石可能摆出的大阵都摆出来，才能给他们充满能量。这下小 a 和 uim 傻了眼了，赶快联系上了你，让你帮忙算一下，一共有多少种大阵。

题解：

很明显，生成函数题目
我们考虑每个石头的情况：
kkksc03:
金神石的块数必须是 6 的倍数。：$f1=1+x^6+x^{12}+..$
木神石最多用9块：$f2=1+x^1+x^2+x^3+...+x^9$
水神石最多用5块：$f3=1+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5$
火神石的块数必须是 4 的倍数。：$f4=1+x^4+x^8+x^{1}2+...$
土神石最多用7块：$f5=1+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7$
lzn大神：
金神石的块数必须是 2 的倍数。：$f6=1+x^2+x^4+...$
木神石最多用1块：$f7=1+x^1$
水神石的块数必须是 8 的倍数：$f8=1+x^8+x^{16}+x^{24}+....$
火神石的块数必须是 10 的倍数。：$f9=1+x^{10}+x^{20}+x^{30}+...$
土神石最多用3块：$f10=1+x^1+x^2+x^3$
答案就是：$$F=f1\ast f2\ast f3\ast f4\ast f5\ast f6\ast f7\ast f8\ast f9\ast f10=\frac{1}{(1-x{)}^5}$$
$$\frac{1}{(1-x{)}^5}=\sum _{i=0}^{\infty }{C}_{5+i-1}^i{x}^i=\sum _{i=0}^{\infty }{C}_{4+i}^i{x}^i$$
第n项的系数是：$$C_{4+n}^n=\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{4!}$$
因为n很大，高精度也没法计算，所以要用NTT加速一下
FFT/NTT如何实现高精度乘法的：
都是到FFT可以处理多项式乘法，那我们完全可以将一个高精度整数写成多项式形式。
对于每一个n的十进制数，我们可以看作一个n-1次多项式A，满足:
$$A(x)=a_0+a_1\ast 10^1+a_2\ast 10^2+....+a_{n-1}\ast 10^{n-1}$$
对于两个大整数相乘，我们就可以直接卷起来
关于FFT高精度乘法，可以看这个【模板】A*B Problem升级版（FFT快速傅里叶）

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e6+10,XJQ=998244353;
char s[N];
ll n,L,invn;
ll a[N],b[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *x,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(x[i],x[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll l=p>>1,tmp=power(3,(XJQ-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,XJQ-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+l;i++){ll tt=buf*x[i+l]%XJQ;x[l+i]=(x[i]-tt+XJQ)%XJQ;x[i]=(x[i]+tt)%XJQ;buf=buf*tmp%XJQ;}}}if(op==-1)for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*invn%XJQ;return;
}
void mul(ll x){for(ll i=0;i<L;i++)b[L-i-1]=s[i]-'0';b[0]+=x;NTT(a,1);NTT(b,1);for(ll i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i]%XJQ,b[i]=0;NTT(a,-1);for(ll i=0;i<n;i++){(a[i+1]+=a[i]/10)%XJQ;a[i]%=10;}return;
}
int main()
{scanf("%s",s);L=strlen(s);for(ll i=0;i<L;i++)a[L-i-1]=s[i]-'0';for(n=1;n<=L*5;n<<=1);for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);invn=power(n,XJQ-2);a[0]++;for(ll i=2;i<=4;i++)mul(i);for(ll i=n-1;i>=0;i--)a[i-1]+=a[i]%24*10,a[i]/=24;ll w=n-1;while(!a[w])w--;for(;w>=0;w--)printf("%lld",a[w]);
}