杜教筛

 

1.概述

 

杜教筛是用以解决积性函数前缀和的算法。

在学习了莫比乌斯反演之后，杜教筛的过程就会显得简单而自然。

 

2.基本形式 

 

对于积性函数，我们定义如下函数：

构造积性函数 ，使得 

显然 ：

进一步转化：

也就是：

把右式的第一项提出：

进一步整理，得：

显然，如果我们能够快速算出任意的   ，就能够通过数论分块在的时间内求出。

 

3.一些常见函数的杜教筛形式

    3.1  函数的前缀和

有一个显而易见的结论：

设  

由杜教筛易得：

    3.2  函数的前缀和

有一个显而易见的结论：

设  

由杜教筛易得：

4.一些总结

 

杜教筛作为一个数论算法，代码实现不算太难，但有几个小细节需要注意：

•   是需要全部记录的，需要用到unordered_map或者 map（多一个log）。
• 实测unordered_map、map，时间差不多
• 容易爆long long

平时遇到积性函数求和，并且高达，就可以尝试用杜教筛来解。

当然杜教筛有一个弊端：没有一个系统的构造函数的方法。

如果遇到一个难以构造的积性函数，可以尝试使用 _筛、洲阁筛，(啥？你不会，我也不会qwq），那自求多福吧（QAQ~)。