三点间LCA

三点间LCA

 

1.直接上题——jzoj5883. 【NOIP2018模拟A组9.25】到不了

Dscription

wy 和 wjk 是好朋友。
今天他们在一起聊天,突然聊到了以前一起唱过的《到不了》。
“说到到不了,我给你讲一个故事吧。”
“嗯?”
“从前,神和凡人相爱了,愤怒的神王把他们关进了一个迷宫里,迷宫是由许多棵有根树组 成的。神王每次把两个人扔进其中的某一棵有根树里面,两个相邻节点的距离为 1,两人的 每一步都只能从儿子走到父亲,不能从父亲走到儿子,他们约定,走到同一个节点相见,由 于在迷宫里面行走十分消耗体力,他们决定找出那个使得他们走的总路程最少的节点,他们 当然会算出那个节点了,可是神王有时候会把两棵有根树合并为一棵,这下就麻烦了。。。”
“唔。。。”
[已经了解树,森林的相关概念的同学请跳过下面一段]
树:由 n 个点,n-1 条边组成的无向连通图。
父亲/儿子:把树的边距离定义为 1,root 是树的根,对于一棵树里面相邻的两个点 u,v,到 root 的距离近的那个点是父亲,到 root 距离远的那个点是儿子
森林:由若干棵树组成的图
[简化版题目描述]
维护一个森林,支持连边操作和查询两点 LCA 操作

Input

第一行一个整数 N,M,代表森林里的节点总数和有根树的数目。
第二行 M 个整数,第 i 个整数 ri 代表第 i 棵有根树的根是编号为 ri 的节点
接下来 N-M 行,每行两个整数 u,v 表示 u 和 v 相邻
接下来一行一个整数 Q,表示 Q 个事件发生了
接下来 Q 行,每行若干个整数,表示一个事件
如果第一个数 op=1,接下来两个整数 u,v,代表神王把 u 号节点所在的树和 v 号节点所在的树 合并到一起(即 u 到 v 连了一条边),新的根为原来 u 号节点所在的树的根(如果 u,v 已经联通, 忽略这个事件)。
如果第一个数 op=2,接下来两个整数 u,v,代表一次询问,当一个人在 u 号节点,一个人 在 v 号节点,询问他们找到的那个节点的编号

Output

对于每一个询问(op=2 的操作),输出一行一个整数,代表节点编号,如果 u,v 不联通,输 出 orzorz。

Sample Input

【样例 1】
2 2
1 2
2
1 1 2
2 1 2
【样例 2】
2 2
1 2
2
1 2 1
2 1 2

Sample Output

【样例 1】
1
【样例 2】
2

Data Constraint

对于 30%的数据 1 ≤ N ≤ 1000 1 ≤ Q ≤ 1000
对于 100%的数据 1 ≤ N ≤ 100000 1 ≤ Q ≤ 100000

 

2.1Solution

显然可以LCT吧,这里不再撰述。

 

2.2Solution

通过归纳证明我们发现:

这一问题其实就是在求三点间LCA

显然三点间LCA并不是依次LCA后的结果。

 

  • 结论:LCA(a,b,c)=LCA(a,b)\;xor\;LCA(a,c)\;xor\;LCA(b,c)
  • 证明:归纳证明易得(非要看证明请见这位学长的博客:详细的归纳证明)。

所以此题就很容易地用并查集解决了。 

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