Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2) D. The Number of Pairs 数论gcd

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  • 题意:
  • 思路:

题意:

给三个数c,d,xc,d,xc,d,x,求满足c∗lcm(a,b)−d∗gcd(a,b)=xc*lcm(a,b)-d*gcd(a,b)=xclcm(a,b)dgcd(a,b)=x条件的(a,b)(a,b)(a,b)的数量。

思路:

考虑将lcm(a,b)lcm(a,b)lcm(a,b)表示成k∗gcd(a,b)k*gcd(a,b)kgcd(a,b),随后将式子化简(c∗k−d)∗gcd(a,b)=x(c*k-d)*gcd(a,b)=x(ckd)gcd(a,b)=x,现在我们只需要求xxx的因子,之后让一个因子xz\frac{x}{z}zx等于gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)zzz等于(c∗k−d)(c*k-d)(ckd)即可。因为c,dc,dc,d都知道了,那么容易得出k=d+zck=\frac{d+z}{c}k=cd+z,当然前提是(d+z)modc=0(d+z)\bmod c=0(d+z)modc=0gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)已知,lcm(a,b)=k∗gcd(a,b)lcm(a,b)=k*gcd(a,b)lcm(a,b)=kgcd(a,b),只需要求出满足lcm(a,b)lcm(a,b)lcm(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)对数即可。
我们将a,ba,ba,b都除gcd(a,b)gcd(a,b)gcd(a,b),那么gcd(a′,b′)=1gcd(a^{'},b^{'})=1gcd(a,b)=1,lcm(a′,b′)=lcm(a,b)gcd(a,b)=a′∗b′lcm(a^{'},b^{'})=\frac{lcm(a,b)}{gcd(a,b)}=a^{'}*b^{'}lcm(a,b)=gcd(a,b)lcm(a,b)=ab,我们对a′∗b′a^{'}*b^{'}ab进行质因子分解,得到a′∗b′=p1k1p2k2...pnkna^{'}*b^{'}=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}ab=p1k1p2k2...pnkn,也就相当于从质因子中找出来一些分给a′a^{'}ab′b^{'}b,又因为gcd(a′,b′)=1gcd(a^{'},b^{'})=1gcd(a,b)=1,所以他们不能有相等的质因子,所以一个质因子只能给一个数。假设有cntcntcnt个质因子,那么组合就有2cnt2^{cnt}2cnt种组合。这样问题就解决啦。

之前代码t掉啦,改成线性筛就好了。

//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=20000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;LL ans=0;
int c,d,x;
int st[N],nt[N];
int mp[N];
int prime[N],cnt;
vector<int>v;void solve(int y)
{if((y+d)%c!=0) return;LL k=(y+d)/c;int cnt=0;while(k!=1){int x=nt[k]; cnt++;while(k%x==0) k/=x;}ans+=(1<<cnt);
}int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);for(int i=2;i<N;i++){if(!st[i]) prime[cnt++]=i,nt[i]=i;for(int j=0;prime[j]<=N/i;j++){st[prime[j]*i]=true;nt[prime[j]*i]=prime[j];if(i%prime[j]==0) break;}}int _; scanf("%d",&_);while(_--){ans=0;scanf("%d%d%d",&c,&d,&x);vector<int>vv;for(int i=1;i<=x/i;i++)if(x%i==0){int a=i,b=x/i;if(a!=b) vv.pb(a),vv.pb(b);else vv.pb(a);}for(int i=0;i<vv.size();i++) solve(vv[i]);printf("%lld\n",ans);}return 0;
}
/**/

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