数据结构与算法--将数组排成最小的数

将数组排成最小的数

题目：输入一个正整数的数组，将数组中所有数字拼接在一起排列成一个新的数，打印能拼接出来的所有数字中最小的一个，
案例：输入数组{12,4，55}，则能打印出最小的数组是：12455
首先还是最简单的做法，我们求出数组中所有数字的全排列，然后将每个排列的情况拼接成一个新的数字，比较得到最小的数字情况。求数组的全排列问题我们在之前的文章：数据结构与算法–字符串的排列组合问题
更具排列组合知识，n个数组共有n！个排列，当数组元素比较多的时候，时间复杂度会是一个非常大的数值，运行会非常慢，应该有更快的方案。
常规优化：穷举法是为了避开了一个选择交换的过程，如果只有两个元素，我们找出小的放到前面，那这个题目就转成了一个找数组的排序规则的过程。数组根据这个排序规则排列成一个最小的数字。要确定排序规则，就需要比较两个数字，也就是给出 m，n两个数，我们需要确定一个排序规则判断m，n那个应该在前面，这不是比较数字大小的问题。
根据题目要求，两个数字m，n，能拼出mn，nm两个数字。
- 如果mn < nm，那么我们应该输出mn，也就是m应该在n前面，我们定义m 小于 n
- 如果mn > nm，那么我们应该输出nm，也就是n在m前，我们定义n 小于 m
- 同样mn = nm定义 m= n
- 以上中 > < = 是我们数学意义上的比较，而大于，小于，等于，是我们自己定义的大小关系。
那么我们接下来需要考虑的是怎么去拼接数字，当给出数字，m，n，我们直接计算的方式得到mn，nm的关系并不难。但是还有一个关键问题，当mn拼接后得到数字无法用int表达的时候，超过int类型的范围那么我们就不能用普通的计算方式。有一个潜在的大数问题让我必须用字符串的方式来计算。
大数问题用字符串解决，字符串的比较问题，因为此处mn， nm 两个数必然是两个长度相等的字符串，那么比较他大小只需要按照字符串的大小比较规则就可以了。
基于以上分析，我们可以先对数组中的所有数组进行快速排序
排序规则用我们自定义规则，
从小到大排序后，将所有数字依次拼接，就得到了最小值。
经如上分析有如下代码：

/*** 将数组中所有数据合并成一个数，求出能排成的最小数** @author liaojiamin* @Date:Created in 12:00 2021/6/8*/
public class FinMinNumber {public static String pringMinNumber(int[] array) {if (array == null || array.length <= 0) {return "";}if (array.length == 1) {return String.valueOf(array[0]);}String[] str = new String[array.length];for (int i = 0; i < array.length; i++) {str[i] = String.valueOf(array[i]);}quickSort(str, 0, str.length - 1);StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();for (String s : str) {System.out.print(s +", ");stringBuilder.append(s);}System.out.println();return stringBuilder.toString();}/*** 快排法，按从小到大排序字符串，字符串大小规则自定义* */public static String[] quickSort(String[] str, Integer left, Integer right) {if (left < right) {Integer temp = quickSortSwap(str, left, right);quickSort(str, left, temp - 1);quickSort(str, temp + 1, right);}return str;}public static Integer quickSortSwap(String str[], Integer left, Integer right) {if (left < right) {String position = str[left];while (left < right){while (left < right && myCompareTO(str[right], position) > 0) {right--;}if (left < right) {str[left] = str[right];left++;}while (left < right && myCompareTO(str[left], position) < 0) {left++;}if (left < right) {str[right] = str[left];right--;}}str[left] = position;}return left;}/*** 字符串大小规则比较，* ab > ba => a>b* ab == ba => a==b* ab<ba =>  a<b* */public static Integer myCompareTO(String a, String b){String ab = a+b;String ba = b+a;return ab.compareTo(ba);}public static void main(String[] args) {int[] str_1 = {12, 34, 1, 34, 777, 33, 99, 86, 56, 9};System.out.println(pringMinNumber(str_1));}
}

后续问题

如上实现方案中有两个问题：
- 第一我定义了一种新的比较两个数的规则，但是这种规则是我们想出来的，并不是定理或者公
- 第二我们定义的是比较两个数的规则，但是用它来排序一个包含多个数字的数组，最终得到的是否是我们需要的的最小数字？
那么以上两点我们必须给出严格的数学证明，来确保方案的准确：
第一，证明之前订阅的比较规则有效性。一个比较规则有效，需满足三个条件，自反性，对称性，传递性
- 自反性：显然，如果ab = ba，那么 a等于b
- 对称性：如果a 小于 b，则ab < ba，所以ba > ab,因此b 大于 a
- 传递性：如果a 小于 b，则 ab < ba。假设a， b都是十进制表示时候，分别有1位，m位，有如下推断
  如果有a 小于b
  ab = a * 10 ^m + b
  ba = b* 10¹ + a
  若 ab < ba
  有 a * 10 ^m + b < b* 10¹ + a
  a * 10 ^m - a < b* 10¹ - b
  a(10^m-1) < b(10¹-1)
  a/(10¹-1) < b/(10^m-1)
  同时如果有b 小于c，则bc < cb，同样假设c十进制n位，与以上证明一致，得到
  b/(10^m -1) < c(10ⁿ -1)
  综上： a/(10¹-1) < b/(10^m-1) < c(10ⁿ -1)
  a/(10¹-1) < c(10ⁿ -1)
  a(10ⁿ -1) < c(10¹-1)
  a * 10ⁿ + c < c * 10¹+a
  ac < ca
  a<c
如上证明了这种比较规则满足自反性，对称性，传递性，是一种有效的比较规则，
以下还需要证明根据如上规则将数组排序后，将数组中所有数字拼接起来得到的确实是最小值。
略（太难了）