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爆炸吧知识

上一篇文章超模君给大家介绍了欧拉公式，很多粉丝问我：八岁表妹明明还是小学生，是怎么知道泰勒级数的意思的?

答案其实很简单，这当然和我们全家优秀的基因...不！优良的家教有关！

那天，我正在房间休息，表妹一看我没在忙，立刻蹦蹦跳跳地跑过来，手里还拿着一张卡牌，缠着我给她讲讲这个数学家的故事。

我拿起卡牌一看，这不是泰勒么？

点击图片，获取表妹同款卡牌

接着，我就给表妹讲了一下泰勒生平的成就，不料表妹听完之后，皱起了眉头：听你这么说，这人也没有多厉害啊，没意思！

超模君听完，内心再次炸裂，作为我超模君的表妹，居然视泰勒级数为无物，不要你这个表妹也罢！

随后在表妹的苦苦哀求下，我还是认回了她，并拉着她，手把手开始讲起了泰勒级数。

有一天，泰勒正在专心致志地做着数学题，结果不知不觉就到晚上了，肚子饿得咕咕叫，却没做完几道题。

他发现，自己每次解一些复杂的函数，都不能又快又准地得到函数值，这让他相当地纳闷。

突然，他灵机一动，假如把一切函数表达式都转化为多项式得到近似值，这样处理问题不就简单了吗？

于是，他先随手写下一个幂级数：

接着，他假设x=a，再分别求出C0、C1、C2、C3的值：

当x=a时，可以得到C0为：

接着再求C1，先进行一阶导数，可以得到

于是，就可以推出C1为：

以此类推，求C2时再进行二阶导数，可以得到

最后推出C2为：

就这么一项一项地算下来之后，泰勒再将它一归纳，Amazing！

泰勒得到这个公式后，没有高兴太久，而是立刻把它放到三角函数中进行验证。

当f(x) = cosx时，已知cos的导数为-sin，sin的导数为cos，因此可以得到它们的各阶导数为：

再稍微一整理，就得到了和原来类似的式子：

这时，再令a=0，神奇的事情发生了！虽然还是一项一项，但式子已经变得极其简约！

听到这里，表妹不满意地撇撇嘴：“表哥你说了这么久，我还是没有感觉到这个公式厉害在哪嘛！”

我：“还没讲完呢！接下来就是见证奇迹的时刻了！

我们将cos(x)的值用红线在坐标轴表示出来，接着再用蓝线表示用泰勒级数算出的近似值，表妹你看看，是不是级数越大，它们两个就越相似？”

“哇！表哥！真的耶！”

“这还没完呢，我们可以再拿e的平方来测试一下，e约等于2.71828，在计算器算一下，可以算出e的平方等于7.389056....

接着，我们再用泰勒级数算一遍，e的泰勒级数是这样表示的：

令x=2，运算至不同级数，分别可以得到下面的近似值，也就是说，越往下计算，得到的结果就会越接近，这就是泰勒级数的威力！

8岁表妹：哇！这下我明白泰勒他有多厉害了。那泰勒级数这么方便，大家一定经常用它来计算吧？

 

我：没错！泰勒级数会经常在数学物理类的学习中与我们相遇，因为它在数学中是一种极其强大的函数近似工具。

 

像咱们平时用的电脑，经常要用到开方和幂次计算，程序员教“它”泰勒级数的方法，电脑就能计算得更快，节省更多的时间，类似实用的例子还有很多很多...

 

化繁为简，化难为易，这就是泰勒级数的美妙之处。

 

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今天就到这里！借此新春佳节之际，祝各位模友新年快乐！牛年大吉！