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引子：

尽管没有微积分那样如雷贯耳的名声，也没有相对论那般独辟蹊径的创新，傅立叶变换却悄悄地潜藏在我们生活中的方方面面，默默地改变着这个世界。

对于工科出身的读者而言，傅立叶分析的第一印象可能是这样的：

傅立叶变换的应用之一——信号处理[1]

 

在金融分析师眼里，傅立叶变换是这样的：

傅立叶变换的应用之二——时间序列分析[2]

 

而在数学家眼里，傅立叶变换则像孙猴子一般拥有七十二变：

傅立叶变换的离散版——傅立叶级数

 

群的傅立叶变换——连接分析和数论的桥梁[3]

 

高效的傅立叶变换算法——快速傅立叶变换（FFT）[3]

 

傅立叶分析的进化版——调和分析。

图为Littlewood-Paley理论[4]

 

可见无论在理论还是应用领域，傅立叶变换都是瑰宝级的工具。事实上在信号处理、股票预测、数值模拟、微分方程、数论乃至数据压缩，它都扮演着无可替代的角色。 

 

再浩瀚的江河也必有源头；要想深入了解傅立叶变换，得从它的来源说起。那么傅立叶到底是谁呢？

 

因为“傅”也是百家姓之一，所以笔者首次见到傅立叶变换时，还以为这又是中国古代的一大发明。直到看到傅立叶具有中世纪特色的方便面发型和似毛毯外裹的穿着，才知道他并不是中国人：

傅立叶。图片来自网络

 

傅立叶（1768-1830）出生于法国，是著名的数学家和物理学家[5]。除了傅立叶变换，著名的热方程（Heat equation， 最简单的扩散方程）也出自于傅立叶之手。一个是积分变换，一个是微分方程，两者貌似互不相关，实际上则存在着千丝万缕的联系，读者们会在接下来文章中有所体会。 此外，大气温室效应也是他通过研究热方程的解首次发现的（当时傅立叶错误地认为海洋像大气一样也具有温室效应）[6-7]。

 

现在我们对傅立叶变换已经有了初步的认识。那么它是怎样从一个高冷的数学概念“下凡”到日常生活中的呢？带着这个疑问，我们进入第二部分。

天地万物皆循道，信号狼藉索周期

大家知道太阳光、声音和地震波等信号，都是由不同频率的波（周期函数）混杂而成。

书架上书太多就得分类，那么有没有方法也把这些杂乱无章的信号分个类，比如把波按频率分类出来呢？用数学的语言表述，给定一个函数f（x）（x为实数），我们能不能把f（x）变成另一个和频率k有关的函数，并且用来表示

的各个频率成分的表现呢？这就是傅立叶变换的主要任务，而就称之为的傅立叶变换（不同地方的定义可能稍有不同，但本质上都是一回事）：

在实际应用中，我们一般要求具有一些“良好性质”，例如平方可积这样和之间满足Parseval恒等式。这个恒等式非常美妙，具体细节可参考[3]的第三章）。

然而在理论领域，这些函数通常不愿再“从良”，傅立叶分析就进化成了更加一般的调和分析（Harmonic Analysis），以对付这些不听话的函数。

 

为简单起见，我们先考虑听话的函数（平方可积函数）。为什么（1）式积分号下会出现项呢？这一项里还有个虚数符号，看起来如少女心一般让人难以捉摸，实际上欧拉恒等式可以告诉我们答案：

 

这样一看就清楚多了——正弦和余弦都是具有周期性的！那么（1）式必然同周期性存在着某种联系！如果读者们还不太相信，下面的动图更加清晰地表现了和两兄弟间的关系：

f（x）（红色曲线）被分解为不同频率，然后这些不同频率又重新组合成

 

当然傅立叶变换周期性还有很多其他应用，下表是一个总结：

 

具体实例	傅立叶变换的作用
光谱分析	本质上就是提取电磁波的频率成分，可以用傅立叶变换完成。
时间序列分析	时间序列是和时间有关的随机变量，人们通常关注这些随机变量之间的相关性，所谓的谱分析正是因此而生（时间序列“谱”包含了随机变量的相关性信息，和光谱有区别）。谱分析的关键就是对时间的傅立叶变换。
CT扫描（x光）	这类问题是已知波方程的解，要倒回去推导原来的方程长什么样（也就是估计原来方程的参数），数学上又称为反问题（Inverse Problem）或参数估计（Parameter Estimation）问题。傅立叶变换在计算中起到关键作用。
雷达测距（无线电波）
地震测量（地震波）

 

 

微分积分各行事，傅式变换穿针线

在上一部分中，我们知道了傅立叶变换是如何与周期性，或者函数的频率产生联系的。事实上傅立叶变换的另一个重要作用在于解微分方程。傅立叶变换是积分变换，怎么运用到微分运算当中去呢？一切都源于傅立叶变换的一个重要性质：

  

 

这里表示对作傅立叶变换。大事化小小事化了，上面（3）式提示我们，傅立叶变换可以把复杂的偏微分方程转化为简单的常微分方程，也可以把常微分方程转化更加简单的代数方程！例如考虑同出自傅立叶之手的热方程：

通常情况下只需要转换为常微分方程就足够了，没有必要进一步转换

 

解一阶常微分方程是非常容易的。不过不要高兴太早，我们得到的解只是

关于x的傅立叶变换，还得想办法把给还原出来。其实数学上我们可以证明和它的傅立叶变换具有一一对应的关系，因此只要知道了，热方程的解也就呼之欲出！这个结论可以参考文献[3]的第四章。

 

因为（3）中美妙的性质（把微分变成指数），傅立叶变换在微分方程领域大显身手。不过随着自然科学领域各种问题的复杂化，方程也开始变得多种多样（例如初边值条件的差异和方程系数光滑性发生变化等等），方程的解也越发地奇形怪状。上有政策下有对策，调和分析这一新兴领域随之破壳而出；尽管身份似已改头换面，其核心思想仍然是傅立叶分析。本文第六部分还会对此展开进一步讨论。

 

 

抽象代数示玄机，解析数论展天威

相信现在读者们已经了解到傅立叶变换的强大威力了：从光谱分析到CT成像，再到微分方程的解，可以说只要和自然科学有关，傅立叶分析就无处不在。

 

然而这就是傅立叶变换的全部威力了吗？非也！令很多人意外的是，在晦涩难懂的数论领域，傅立叶变换也发挥着至关重要的启发性作用。

 

傅立叶变换不是定义在实数上的吗，怎么能运用到离散的数论上去呢？这就要靠数学家们的伟大创造力了——既然实数上可以定义傅立叶变换，那么我们也可以在代数群上定义傅立叶变换。

这种定义的难点在于代数群和实数不同，一般说来前者是没有“连续性”的概念的（这里不考虑连续群），所以不能通过积分来定义群的傅立叶变换。不过群表示理论里面的一个重要概念——特征标（Character）为傅立叶变换的定义铺好了道路。一个群G的特征标定义为G上的某种函数：

 

其中“”表示群里面的抽象“乘法”运算，不一定是实数的乘法。表示一个圆圈，可以用

来表示（下图是一个例子）。这样，G中元素a的傅立叶变换就是 [3]。

 

把傅立叶变换移植到那么抽象的代数群上面干什么呢？事实上，用这个概念可以证明数论中一个非常美妙而简洁的结论：如果a和d是互素的整数，那么数列

中有无穷多个素数。这个结论又称作狄利克雷定理[11]。

 

有高等数学背景的读者也许对“狄利克雷”这个名字并不陌生。狄利克雷是德国数学家，比傅立叶晚几十年出生，并且在解析数论（用复分析的方法研究数论）领域有很多杰出贡献[12]。粗略地讲，为了证明上面这个结论，狄利克雷对循环群（也就是正整数的同余类）定义了一种特殊的特征标——狄利克雷特征标，并利用这个特征标引入了L函数的概念：

 

通过研究这个函数的敛散性，就能证明狄利克雷定理，有兴趣的读者可以参考文献[3]的最后一章。

 

砍瓜切菜破概率，化零为整道极限

眼看着傅立叶变换在工程、微分方程和数论等不同领域大显身手，统计学家们坐不住了：“有没有办法把傅立叶变换应用到概率统计中呢？”答案是肯定的，这就是概率论中著名的特征函数（Character Function）。对于一个实值随机变量X，概率分布函数为, 它的特征函数（傅立叶变换）被定义为：

特征函数是概率论和数理统计中一个极为强大的工具，很多著名的结论都是通过特征函数来证明的。例如中心极限定理，强大数律等。傅立叶变换之所以能在概率统计也能自成一派，究其根底，是源于它的另一个性质（把两个测度或函数的卷积变为常规乘法）：

其中 

表示和的卷积（Convolution）。卷积在概率统计中是非常重要的——假设X和Y是独立随机变量， 分别是对应的概率分布函数，那么新随机变量Z := X+Y的概率分布函数就是 。

以此类推，假设是n个独立随机变量（不要求同分布），那么的分布函数就是。卷积涉及到积分运算，很麻烦，有没有办法把卷积化简称为一般的乘积呢？

 

也许一些聪明的读者已经看出来了，如果对进行傅立叶变换，不就变成了n个函数的乘积么！

这样一来，的分布函数似乎就没有那么复杂了。这便是概率统计领域许多经典结论的思想精髓所在。

 

纯理论的分析总是抽象的，那么我们来实战一下。以中心极限定理为例：

 

摘选自文献[13]

 

这个定理是说，当随机变量个数增加以后， 渐进服从正态分布。这个定理的核心思想，就是求出 的特征函数（傅立叶变换），然后证明这个特征函数趋近于正态分布的特征函数即可（用泰勒展开可证）。

在本文第三部分中，笔者提到傅立叶变换是可逆的，因此特征函数可以完全决定概率分布函数。具体证明可参考文献[14]（这本书从三级数定理出发，推导出了更普遍的中心极限定理和相关估计，但核心思想都是特征函数）。

 

不仅仅是传统

到此为止，傅立叶分析这个上天入地上无所不能、无孔不入、无处不在的数学工具，已经让不少读者大开眼界了。不过这还满足不了数学工作者们的胃口——上文介绍的内容，大都属于经典范畴，数学系老司机们对此都已经耳熟能详了。

 

然而对于这么一个强有力的工具，傅立叶分析的野心绝不仅限于经典数学。除了上文提到的这些“元配”，傅立叶分析和现代数学之间也有着千丝万缕的联系。例如：

 

周期性与信号处理：

基于傅立叶变换和函数周期性的关系，人们发展出了小波分析（Wavelet Analysis）和压缩感知（CompressionSensing）等新兴数学领域。

例如小波分析，本质上就是把把模拟（连续）或数字（离散）信号从时空域转换到频域，用以提取信号的频率特征，因而是信号处理过程的关键。著名的香农采样定理（Shannon samplingtheorem）给出了信号最小采样点个数和信号频率间的关系，成为小波分析领域的关键定理。

压缩感知则是一种信号采样的技巧，目的在于通过尽可能少的采样点恢复出原有信号。压缩感知产生于上世纪90年代，其核心算法就是在当时红头一边天的Lasso方法（这种方法是统计学家发明的，能够减少数学模型中参数的个数）。压缩感知最引人注目之处在于，它很好地利用了信号的频率特点，甚至突破香农采样定理中的最小采样点个数限制[16]。

 

微分方程的解：

由于傅立叶分析只能对付性质良好的函数（如L²函数），无法满足许多实际问题，于是人们逐渐发展出了武艺更为高强的调和分析（Harmonic Analysis），有兴趣的读者可以参考这一领域的经典著作[8]。

至于调和分析如何运用于微分方程，则可以参考苗长兴教授的两本著作[4]和[9]。调和分析的最新应用之一，则是陶哲轩于2014年用证明了某种弱化版三维Navier-Stokes方程（千禧年七大数学难题之一）解的存在性和爆破性[10]（Finite-time blowup），其中的关键就是运用了傅立叶变换中的思想（具体说来叫做Fourier Multiplier，可参考[8]）。

 

数论与组合：

笔者在第五部分末提到了L函数的概念。事实上L函数是解析数论中的核心课题之一，黎曼猜想（另一个千禧年七大数学难题）中出现的zeta函数就是L函数的特例。

此外，陶哲轩在2008年证明了“素数集合中包含任意长度的等差数列”这一结论（称作Green-Tao定理），算是狄利克雷定理的某种推广，有兴趣的读者可以参考[15]；而这篇文章中一个重要思想，便是把傅立叶分析的思想运用到拓扑群（既有群结构又有拓扑结构，因此可以同时用分析和代数两种手段研究它）上[17]。作为数学界中罕见的全能手，傅立叶分析或许正是陶哲轩最重要的思想源泉。

 

概率论：

自从用特征函数法证明了中心极限定理以后，人们感受到了傅立叶分析在概率统计中的神奇功效。

概率论一大分支——概率极限理论（Asymptotic Theory）中的许多结论就是通过特征函数的方法证明的，例如Berry-Essen中心极限定理。该定理可视作中心极限定理的某种加强，因为它给出了中心极限定理中渐进正态的速度（随着随机变量个数当增加，这些变量会以怎样的速度近似于正态分布）。具体证明可参考文献[14]。

 

结语

到此为止我们已经强烈感受到，傅立叶变换在不同领域都有着非凡的价值。为加深读者们的印象，最后对本文大体内容做一总结：

应用领域	所涉及的傅立叶变换性质
频率分析及谱分析	提取对应函数的频率（周期）信息，或者通过函数的频率信息推导出原函数的表达式。
微分方程	把微分转化为指数，并且这一转化是可逆的。
数理统计	把卷积转化为普通乘积，并且这一转化是可逆的。
解析数论	把离散的代数群转换到连续的复平面上，把数论问题转化为分析问题。这一转化也是可逆的。

 

从以上总结不难看出，尽管傅立叶变换的应用领域看似毫不相关，实际上它们都有一个共同点——即都运用到了傅立叶变换的可逆性。正是这个原因，傅立叶变换才能作为一条暗藏的主线，把各行各业都串联了起来。表面上抽象难懂实际上简洁普适，这正是数学的魅力和精髓所在。

 

其实数学上的积分变换还有很多，例如拉普拉斯变换（实数版的傅立叶变换），希尔伯特变换（把正弦变成余弦，在相位分析中很有用）以及更一般的盖尔范德变换（通过算子代数的观点看傅立叶变换）等等。它们在自然科学界中独领风骚，各有风采，相互间又有千丝万缕的联系。因此只要抓住了傅立叶变换的基本思想和特点，其它的积分变换也都变成了囊中之物。

 

从19世纪初的法国诞生到现在，傅立叶变换依然是科研界非常活跃的话题。或许今后傅立叶变换会有更多用武之地，但这不仅仅要依靠数学家的独特创造力，还要靠整个科学界的共同努力合作，毕竟科学是不存在严格分界线的。

尽管分支众多，不同学科之间都是紧密相连的

 

 

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参考文献：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis.

[2]http://traders.com/Documentation/FEEDbk_docs/2007/01/TradersTips/TradersTips.html.

[3] E.M. Stein, Fourier Analysis – an Introduction.

[4] 苗长兴，《调和分析及其在偏微分方程中的应用(第二版)》。

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier.

[6] Jheni Osman, 100 Ideas that Changed the World.

[7] J.J. Fourier, On the Temperatures of the TerrestrialSphereand Interplanetary Space.

[8] LoukasGrafakos, Classical and Modern FourierAnalysis.

[9] 苗长兴，张波，《偏微分方程的调和分析方法》。

[10] T. Tao, Finite time blowup for an averagedthree-dimensional Navier-Stokes equation.

[11]  https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions.

[12] https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.

[13] 陈希孺，《概率论与数理统计》。

[14] J. Durrett Probability: Theory and Examples.

[15] B. Green andT. Tao, The primes contain arbitrarilylong arithmetic progressions.

[16] EmmanuelCandes, Justin Romberg, and Terence Tao, RobustUncertainty Principles: Exact Signal Reconstruction from Highly IncompleteFrequency Information.

[17] Bump. Daniel,Lie groups, Springer 2004.