数据结构和算法
基于《算法图解》—Aditya Bhargava 和《数据结构》—严蔚敏
第4章 快速排序
4.1 分而治之
divide and conquer , 简称D&C：一种著名的递归式问题解决方法。
例子1：
假设你是农场主，有一小块土地。要求将这块地均匀地分成方块，且分出的方块要尽可能大。
使用D&C解决问题的过程包括两个步骤：
（1）找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。
（2）不断将问题分解（或者说缩小规模），直到复合基线条件。
在分土地问题中，我们设定基线条件为：一条边的长度是另一条边的整数倍。
根据D&C的定义，每次递归调用都必须缩小问题的规模。因此，我们首先找出这块可容纳的最大方块。
可以将这块地划出连个640m×640m的方块。
余下一块640m×400m的土地
按照上述方法继续划分；
最终得出对于最初的那块土地，适用的最大方块为80m×80m。
也就是说，适用于小块地的最大方块，也是适用于整块地的最大方块。
例子2：
重申D&C工作原理：
（1）找出简单的基线条件。
（2）确定如何缩小问题的规模，使其符合基线条件。
注意：D&C并非可用于解决问题的算法，而是一种解决问题的思路。
练习：
4.1 请编写前述sum函数的代码。
4.2 编写一个递归函数来计算列表包含的元素数。
4.3 找出列表最大的数字。
4.4 找出二分查找算法的基线条件和递归条件。
4.2 快速排序
使用D&C的排序算法：需要将数组分解，直到满足基线条件。
工作原理：从数组中选择一个元素，作为基准值(pivot)。
基线条件：数组为空或只包含一个元素。(因为这种情况下，只需要返回数组——不需要排序)。
假设一个包含三个元素的数组：
首先确定元素15用作基准值。
对包含三个元素的数组进行排序的步骤：
- 选择合适的基准值。
- 将数组分成两个子数组：小于基准值的元素组成的子数组和大于基准值的元素组成的子数组。
- 对这两个子数组进行排序。
- 最后合并为一个有序数组：小于基准值子数组+基准值+大于基准值子数组。
那么，对于包含四个、五个…的数组呢？
同样，选择一个合适的基准，进行分区，每个区对其递归地调用快速排序。
#快速排序代码
def quicksort(array):if len(array) < 2：#基线条件return array else:pivot = array[0] #选择基准值less = [i for i in array[1:] if i <= pivot] #小于基准值子数组。greater = [i for i in array[1:] if i > pivot] #大于基准值子数组。return quicksort(less) + pivot + quick(greater)
print quicksort([10,5,2,3])
4.3 再谈大O表示法
快速排序的独特之处在于，其速度取决于选择的基准值。
几种常见的大O运行时间：(横坐标为次数，纵坐标为时间)
4.3.1 常量的影响
- 对于大O运行时间相同的两种算法影响大，比如合并排序和快速排序，运行时间都为O(n log n)，快速排序更快。
- 对于大O运行时间不同的两种算法影响则忽略不计，这种常量将无关紧要。
4.3.2 平均情况和最糟情况
快速排序的性能高度依赖于你选择的基准值。
假设总是以第一个元素用作基准值：
实际上数组并没有被分成两半，其中一个子数组始终为空，实在是一种浪费，导致调用栈达到最大长度，栈高也就是层数为O(n)。
假设总是将中间元素用作基准值：
调用栈直接减半，栈高也就是层数为O(n log n)，因为每次都将数组分成两半，不需要那么多递归调用，很快就达到了基线条件。
在调用栈的每一层都涉及O(n)个元素，因此，完成每层所需的时间都为O(n)：
最佳情况：调用栈高度为O(log n)，每层需要的时间为O(n)；因此整个算法需要的时间为：O(n)*O(log n)=O(n log n)。
最糟情况：调用栈高度为O(n)，每层所需时间为O(n)；整个时间为：O（n²）。
最佳情况也是平均情况，快速排序时最快的排序算法之一，也是D&C典范。
练习：
4.5 打印数组中每个元素的值。
4.6 将数组中每个元素的值都乘以2。
4.7 只将数组中第一个元素的值乘以2。
4.8 根据数组包含的元素创建一个乘法表，即如果数组为[2,3,7,8,10]，首先将每个元素都乘以2，再将每个元素都乘以3，然后每个元素都乘以7，以此类推。
4.4 小结
- D&C将问题逐步分解。编写涉及数组的递归函数时，基线条件通常是数组为空或只包含一个元素。
- 实现快速排序时，请随机地选择用作基准值的元素。快速排序的平均运行时间为O(n log n)。
- 比较二分查找和简单查找时，常量几乎无关紧要，因为列表很长时，O(log n)的速度比O(n)快很多。
——持续修改完善中…
