中国剩余定理的同态性质(CRT变换的同态性)

1、中国剩余定理简介（Chinese Remainder Theory，CRT）

中国剩余定理是关于求解一元线性同余方程组的方法，用形式化的描述就是： $m_1,m_2,m_n$ 是两两互素的n个整数，有下面的同余方程组：
$\left\{ \begin{array}{lr} x\equiv a_1 \mod m_1& \\ x \equiv a_2 \mod m_2\\ ... \\ x\equiv a_n \mod m_n & \end{array} \right. (m_1,m_2,\cdots,m_n)两两互素$
现在定义 $M=\prod_{i=1}^{n}m_i$ ， $m^\prime_i=\frac{M}{m_i}$ ，显然 $M_i$ 是整数。
令 $t_im^\prime_i\equiv 1 \mod m_i$
那么同余方程组的解为
$x\equiv \sum_{i=1}^{n} a_it_im^\prime_i \mod M$

下面给出几个例子：

a is [0, 2, 4, 0]
m is [5, 7, 9, 11]
$m^\prime$ is [693, 495, 385, 315]
t is [2, 3, 4, 8]

a is [1, 5, 5]
m is [5, 7, 9]
$m^\prime$ is [63, 45, 35]
t is [2,5, 8]

a is [2, 5, 7, 18]
m is [5, 7, 11, 19]
$m^\prime$ is [1463, 1045, 665, 385]
t is [2 4 9 4]

2、CRT变换是同态的

CRT变换具有加法同态和乘法同态。
我们假设存在 $\mathbf{m}=[m_1,m_2,\cdots,m_n]$ ，其元素是两两互素的。
域 $Z_M=[0,1,2,\cdots, M]$ ,其中 $M=\prod_{i=1}^{n}m_i$
那么 $Z_M$ 中的元素可以有 $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ 中的元素来唯一表示。
从 $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ 到 $Z_M$ 的变换为crt变换，反方向为icrt变换。
我们使用一个向量来表示 $Z_{m_1} \times Z_{m_2} \times \cdots \times Z_{m_n}$ 中的元素。第i维的值是模 $m_i$ 的。

令 $\in Z_M$ ， $\mathbf{a}=\mathbf{icrt}(x)$ ， $\mathbf{b}=\mathbf{icrt}(y)$
加法

定义 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，其中 $c_i=(a_i+b_i) \mod m_i$

我们说中国剩余定理有加法同态，表示为：
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{c}) \mod M$

证明：
由于当 $\gt 2$ 时可以归约到 $n = 2$ 的情况，所以，下面只证明 $\mathbf{m}=[m_1,m_2]$ 的情况。( $k_1,k_2,\cdots$ 表示整数)

由中国剩余定理，我们知道
$x=a_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_1m_1m_2$ ,
$y=b_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_2m_1m_2$ .

$x+y=(a_1+b_1)t_1m^\prime_1+(a_2+b_2)t_2m^\prime_2 + (k_1+k_2)m_1m_2$

$c_1=a_1+b_1+k_3m_1,c_2=a_2+b_2+k_4m_2$
所以
$\mathbf{crt}(c)=k_3m_1t_1m^\prime_1+k_4m_2t_2m^\prime_2+x+y+k_5m_1m_2$
又有 $m^\prime_1=m_2,m^\prime_2=m_1$
所以 $\mathbf{crt}(c)=(k_3t_1+k_4t_2+k_5)m_1m_2+x+y$
即
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{c}) \mod M$

乘法
定义 $\mathbf{d}=x*y$ ，其中 $d_i=x_iy_i \mod m_i$

那么中国剩余定理有乘法同态。表示为：
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{d}) \mod M$

证明：
$x*y=(a_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_1m_1m_2)(b_1t_1m^\prime_1+a_2t_2m^\prime_2 + k_2m_1m_2)$
将 $m_1m_2$ 的倍数代换有
$x*y=a_1b_1t_1^2m_1^{\prime2}+a_2b_2t_2^2m_2^{\prime2}+k_3m_1m_2$
由于 $t_1m_1^\prime\equiv 1 \mod m_1,t_2m_2^\prime \equiv 1 \mod m_2$
有
$x*y=a_1b_1t_1m_1^\prime+a_2b_2t_2m_2^\prime+k_5m_1m_2$
根据前面的证明，我们知道
$\equiv \mathbf{crt}(\mathbf{d}) \mod M$

下面给出crt和其逆变换icrt的python代码，便于读者验证：

import gmpy2
import numpy as np#the elements in bases should be co-prime
def crt(a,bases):bases=np.array(bases,dtype=gmpy2.mpz)M=np.prod(bases)m_prime=[np.prod(bases[bases!=bases[i]]) for i in range(len(bases))]b=[gmpy2.invert(m_prime[i],bases[i]) for i in range(len(bases))]res=gmpy2.mpz(0)for i in range(len(bases)):res=(res+a[i]*b[i]*m_prime[i])%Mres=np.array(res,dtype=int)return res,Mdef icrt(r,bases):res=[r%bases[i] for i in range(len(bases))]return res