几个有趣的算法题目

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最接近的数字

题目

一个K位的数N

$$ (K\leq2000，N\leq10^{20}) $$

找出一个比N大且最接近的数，这个数的每位之和与N相同，用代码实现之。

例如：0050 所求书数字为0104；112 所求数为121；

算法分析算法思想

直接暴力求这个数字是不可以的，数字的量级太大，有K位的数字，不可能直接用int，或者float来表示，使用数组来存储。应该分析这个数字，step1，从右边开始的最小位数开始，分解最后一位数字，分解出1来拿给前面的一位。9和0比较特殊，因此从左往右扫描的开始，遇到0就跳过，遇到第一个非0的数字，就把这个数字-1，然后移到最后面去，然后，step2，开始找第一个非9的数字，如果遇到9，就把9放到最后面去，遇到非9，就+1，结束运算。

一个般的例子：

1999000 -> 1990008-> 2000899

要注意一个问题，就是如果是 999000 这种情况，在数字的最开头补1，结果是1000899

几个刁蛮的数据：29399 -> 29489

伪代码

array = get_array() # number to char array
array.reverse()
step1 = true
step2 = false
zero = 0, cnt = 0;
for i : 1 - lengthof(array)if step1:if array[i] is 0:zero ++else:array[i] = array[i] - 1if zero > 0:array[0] = array[i]array[i] = 0step1 = falsestep2 = trueelse if step2:if array[i] is 9:if zero == 0:array[cnt+1] = array[cnt]array[cnt] = 9cnt++if (i != cnt):array[i] = array[i-1]else:array[cnt + 1] = array[cnt]array[cnt] = 9cnt++array[i] = 0else:i = i+1step2 = falsebreakif not step2:array[lengthof(array)] = 1array.reverse()
disp(array)

分析时间复杂度O

因为reverse操作，2K，加上最后整理最小数到最前面，最坏情况接近K，3K，在循环中的操作看运气，但是最糟糕的情况也只有5K，所以时间复杂度为

$$ O(3K) \approx O(K) $$

源代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>const int MAXN = 3000;
char array[MAXN];
int length_of_number;
void get_array()
{int i;char null;scanf("%d", &length_of_number);scanf("%c", &null);for (i = 0; i < length_of_number; i++){scanf("%c", &array[i]);}scanf("%c", &null);
}void reverse()
{int i ;char temp;for (i = 0; i < length_of_number/2; i++){// _swaptemp = array[i];array[i] = array[length_of_number - 1 - i];array[length_of_number-1-i] = temp;}
}void run()
{reverse();int step1 = 1,step2 = 0,i = 0,zero = 0,cnt = 0;for (i = 0; i < length_of_number; i++){if (step1){if (array[i] == '0'){zero++;}else{array[i] = array[i] - 1;if (zero > 0){array[cnt] = array[i];array[i] = '0';}step1 = 0, step2 = 1;}}else if (step2){if (array[i] == '9'){if (zero == 0){array[cnt + 1] = array[cnt];array[cnt] = '9';cnt++;if (i != cnt){array[i] = array[i-1];}}else{array[cnt + 1] = array[cnt];array[cnt] = '9';cnt++;array[i] = '0';}}else{array[i] ++;step2 = 0;break;}}}if (step2){array[length_of_number] = '1';length_of_number ++;}
}void output()
{int i;reverse();for(i = 0; i < length_of_number; i++){printf("%c", array[i]);}printf("\n");
}int main()
{memset(array, 0, sizeof(array));freopen("input", "r", stdin);get_array();run();output();return 0;
}

测试结果

使用python生成测试数据进行测试：

"""
最接近的数字
"""
import random
import osdef test():"""sample test"""num = random.randint(0, 10000000)sum_of_num = 0for i in str(num):sum_of_num += int(i)length = len(str(num))temp_num = num + 1while(True):sum_temp = 0for i in str(temp_num):sum_temp += int(i)if sum_temp == sum_of_num:breaktemp_num += 1with open('input', 'w') as f:f.write(str(length) + '\n')f.write(str(num))res = os.popen('./ex2').read()if temp_num == int(res):return [True]else:return [False, num, temp_num, int(res)]all = True
for i in range(1000):res = test()if res[0] is False:all = Falseprint(res)if all:print('Pass testing!')

存在错误的情况：

通过：

后期改善优化的地方

reverse 是为了编程方便进行的处理，但是如果数字太大，速度肯定会受影响，这个时候就不要使用reverse了。
用链表来做可以简化代码，减少分析的，更加节省时间
处理移位的时候考虑几个问题

寻找发帖水王

题目

如果“水王”没有了，但有三个发帖很多的ID，发帖的数目都超过了帖子做数的1/4，又如何快速找出他们的ID。

算法分析算法思想

从0-n扫描ID数组，记录3个数字的个数，如果出现第四个数字，就把三个数字的个数减少1，如果有一个数字的个数减少到0，那么把新来的数字作为原本三个数字之一进行记录。

如此一来，扫描完ID数组之后，剩下记录的3个数字的个数便是需要求的三个数字。

伪代码

array = get_array()
count = empty_set()
for i in array:if count.full:if i in count:count.i.num ++else:for j in count:count.j.num--elsecount.add(i)
disp(count)

分析时间复杂度O

数列的大小为N，记录数字的数组大小为3，每次判断记录数组count是否存在0，以及找到已存在的数字++，都会花费3个单位时间，因此其时间复杂度为

$$ O(3n) \approx O(n) $$

源代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>#define MAXN 5000
int idarray[MAXN];int cur[3]; // 记录当前元素
int pos[3]; // 记录当前元素个数// 检查是否在数组内，如果不在数组内，添加进入数组
void checkin(int no)
{int i;// 检查是否有空位置for (i = 0; i < 3; i++){if (pos[i] == 0){cur[i] = no;pos[i] ++;return;}}// 寻找指定数字++for (i = 0; i < 3; i++){if (cur[i] == no){pos[i] ++;return;}}// 没有找到重复数字，全部--for (i = 0; i < 3; i++)pos[i] --;
}// 输出最后结果
void output()
{printf("%d %d %d\n", cur[0], cur[1], cur[2]);
}// 主程序
int numberOfArray;
void run()
{int i;for (i = 0; i < numberOfArray; i++){checkin(idarray[i]);}output();
}void input()
{int i;scanf("%d", &numberOfArray);for(i = 0; i < numberOfArray; i++){scanf("%d", &idarray[i]);}}int main()
{freopen("input", "r", stdin);int groupOfTest;scanf("%d", &groupOfTest);while(groupOfTest--){memset(cur, 0, sizeof(cur));memset(pos, 0, sizeof(pos));memset(idarray, 0, sizeof(idarray));input();puts("Test running...");run();}return 0;
}

测试结果

本测试数据采用Python自动生成。

"""
寻找发帖水王
"""import randomN = 4000
a, b = (int(N/4), int(N/3))
three_id = random.sample(range(1, 100), 3)
three_id_num = {}
sum_rand = 0
for i in three_id:temp = random.randint(a, b)sum_rand += tempthree_id_num[i] = three_id_num.get(i, 0) + tempid_array = [random.randint(1, 100) for i in range(N-sum_rand)]
for i in three_id:id_array = id_array + [i for j in range(three_id_num[i])]random.shuffle(id_array)print('Most three id:', three_id)
print('Three id num: ', three_id_num)
print('Sum of three_id num: ', sum_rand)
print('---------------')
# print(id_array)with open('input', 'w') as f:f.write('1\n')f.write(str(N) + '\n')for i in id_array:f.write(str(i) + ' ')

后期改善优化的地方

对于N比较小的情况可以在内存中进行查找，但是一旦涉及到更大的数据，这个方法可能就没有那么简单了，不能在内部建立数组，需要一部分一部分的从磁盘中读数；
如果需要查找的id数量变多，那么需要的临时保存的数列可能更大；
这个实现没有使用STL中的map，如果使用map，还能进一步使得代码见解易懂，map使用hash来做内部实现，可以使得面对数据量更大的数据的时候，加快查找数据的速度。

山西煤老板

题目

你是山西的一个煤老板，你在矿区开采了有3000吨煤需要运送到市场上去卖，从你的矿区到市场有1000公里，你手里有一列烧煤的火车，这个火车只能装1000吨煤，且能耗比较大——每一公里需要耗一吨煤。请问，作为一个懂编程的煤老板，你会怎么运送才能运最多的煤到集市？

算法分析算法思想

从动态规划的角度求最优解：
假设起始运送货物量为t，终点路程为s，火车容量为c，可以运抵终点的最多货物量为函数 F(t, s)。
3种基本情况：
（1）t < s：货物量不足以运送到此距离，所以F(t, s) = 0;
（2）s < t < c：火车一次就可以装完货物，所以F(t, s) = t - s;
（3）2s < c 使得火车一次无法运完，但可以采用往返的方式多次运输，这种情况下最有的方式就是减少总共往返的次数，也就是直接运到终点而不在中间卸货，所以

$$ F(t, s) = (t / c - 1) * (c - 2s) + (c - s) $$

可得递归式：

$$ F(t, s) = max\{ F( F(t, i), s - i)\} (1 <= i < s) $$

分析了一下这个方程是有问题的，比如F(1750, 250)会计算出1125；

所以正确的结果应该对t/c进行处理，也就是说，起点剩余的燃料不足运输到终点，直接舍弃。第三阶段的方程式应该是

$$ F(t, s) = (t // c - 1) * (c - 2s) + (c - s) + (t \% c - 2 s), if (t\%c > 2s) $$

伪代码

begin:if t < s:f[t][s] = 0elif s < t < c:f[t][s] = t - selif 2*s < c:f[t][s] = int((t//c-1)*(c-2*s) + (c-s))if t % c > 2*s:f[t][s] += int(t % c-2*s)else:pre = -2for i in range(1, s):pre = int(max(F(F(t, i), s-i), pre))f[t][s] = pre
end
disp(f[3000][1000])

分析时间复杂度O

时间复杂度为

$$ O(3000*3000) $$

因为每个数字都要计算一遍。

源代码

"""
山西煤老板
"""
c = 1000
f = [[-1 for k in range(4000)] for j in range(4000)]
for j in range(4000):for k in range(4000):if j < k:f[j][k] = 0
count = 1000
cnt = 0def F(t, s):"""dp"""global countglobal cglobal f# count -= 1# if count == 0:# count = int(input())t = int(t)s = int(s)if f[t][s] != -1:return f[t][s]if t < s:f[t][s] = 0elif s < t < c:f[t][s] = t - selif 2*s < c:f[t][s] = int((t//c-1)*(c-2*s) + (c-s))if t % c > 2*s:f[t][s] += int(t % c-2*s)else:pre = -2for i in range(1, s):pre = int(max(F(F(t, i), s-i), pre))f[t][s] = preprint(t, s, f[t][s])return f[t][s]print(F(3000, 500))

测试结果

后期改善优化的地方

去除了一下数据进行加速
保存f减少重复运算值
应该有更加简单的方法，类似这种，但是不好解释。
$$ 3y=1000\\ 5x=1000\\ 解得x+y=200+333=533，因此使得最后一辆火车抵达时节省了533吨煤\\ $$

Facebook

题目

Given a list of words, L, that are all the same length, and a string, S, find the starting position of the substring of S that is concatenation of each word in L exactly once and without intervening characters. This substring will occur exactly once in S.

算法分析算法思想

使用hashmap来保存word的hash值，来加快查找速度。（旧）

直接用hash函数求字符串的hash值，最后求得结果。

依据公式

$$ hash(w_1) + hash(w_2) = hash(w_2) + hash(w_1) $$

伪代码

hash_word_list = list(map(hash, words))
hash_sum = reduce(lambda x, y: x + y, hash_word_list)for i in range(len(sentence)):wl = word_lenwlist = [sentence[i+j*wl:i+j*wl+wl] for j in range(words_len)]temp_sum = 0for k in wlist:temp_sum += hash(k)if temp_sum == hash_sum:print(i)break

分析时间复杂度O

就是字符串长度

$$ O(lengthOfS) $$

源代码

#!/usr/bin/env python3
"""
facebook"""
from functools import reducewhile True:words = input()# words = "fooo barr wing ding wing"words = words.split(' ')word_len = len(words[0])words_len = len(words)hash_word_list = list(map(hash, words))hash_sum = reduce(lambda x, y: x + y, hash_word_list)sentence = input()# sentence = """lingmindraboofooowingdin\# gbarrwingfooomonkeypoundcakewingdingbarrwingfooowing"""# print(words, words_len, word_len, sentence)for i in range(len(sentence)):wl = word_lenwlist = [sentence[i+j*wl:i+j*wl+wl] for j in range(words_len)]# print(wlist)temp_sum = 0for k in wlist:temp_sum += hash(k)if temp_sum == hash_sum:print(i)break

测试结果

测试数据生成意义不是很大，

后期改善优化的地方

hash尽管在速度上非常优秀，但是在准确度方面，如果出现hash冲突，那么值可能不准确。此时可以利用hashmap来解决这个问题，不过会多出重置hashmap的相关时间。

For n -m - problems

Problemset

Assume we have a sequence that contains N numbers of type long. And we know for sure that among this sequence each number does occur exactly n times except for the one number that occurs exactly m times (0 < m < n). How do we find that number with O(N) operations and O(1) additional memory?

Algorithm

^ is the add operation without carry.
默认one,two都是0, 即任何数字都不存在
数字a第一次来的时候, one标记a存在, two不变
数字a第二次来的时候, one标记a不存在, two标记a存在
数字a第三次来的时候, one不变, two标记a不存在

构造这样一种运算，通过异或将数据保存在one和two里面。

Pseudocode

def solve2(array):one = 0, two = 0for i in range(array):one = (one ^ array[i]) & ~twotwo = (two ^ array[i]) & ~onereturn one, twoarray = input()
_, res = solve2(array)

### Source code

#!/usr/bin/env pythondef solve(array):one, two = 0, 0for i in array:one = (one ^ i) & ~twotwo = (two ^ i) & ~onereturn one, twoif __name__ == '__main__':array = input()array = array.split(' ')array = list(map(lambda x: int(x), array))# print(array)_, res = solve(array)print(res)

Test

#!/usr/bin/env python3
import randomdef test():"""测试"""array = []n, m = 3, 2numberofNum = random.randint(100, 1000)record = {}for _ in range(numberofNum):temp = random.randint(10, 10000)while temp in record:temp = random.randint(10, 10000)record[temp] = 1for _ in range(3):array.append(temp)temp = random.randint(10, 1000)while temp in record:temp = random.randint(10, 1000)array.append(temp)array.append(temp)from run import solve_, res = solve(array)if res != temp:print('ERROR')print(array, temp)input()else:print('Pass: res: ', res, 'temp:', temp)for i in range(50):test()

Use python generate data to test.

Discussion and improve

如果n不是3，那么需要构造更多的临时变量。

很长的数组

题目

一个很长很长的short型数组A，将它分成m个长为L的子数组B1，B2，…，Bm，其中每个数组排序后都是递增的等差数列，求最大的L值。

$$ 例如，A = \{-1, 3, 6, 1, 8, 10\} 可以分成B_1 = \{-1, 1, 3\}, B_2 = \{6, 8, 10\},\; L = 3 即为所求。 $$

算法分析

首先进行排序，然后开始分三步走。

统计元素个数 O(n)
排序 O(nlog(n))

第一步用来枚举L和m的大小，由题目可知，L * m = 数组的长度。从m为1开始枚举，保证得到的L为最大值。

第二步搜索为深搜，确定当前子数组的起点和初始步长，使用pos记录当前数组选定的元素。

第三步枚举，根据起点给定的初始步长，开始枚举步长，如果枚举的步长可以在数组中找到足够的元素，即数字为L，那么记录这种分法，开始枚举下一个起点。如果枚举的步长和起点无法满足条件，回溯到上一个节点，把上一个节点记录的步长+1再一次搜索。当枚举的起点数达到m，即满足要求输出。

大白话来讲，就是从头开始分原始数组到m个数组中去，排序过后，在前面的每一个节点未被分配的元素，都是子数组起点。如果使用广度优先搜索，即每次都给一个子数组分配一个满足子数组步长要求的数，会导致在最后才发现分配的元素数不满足要求，从而浪费大量时间。

其中，深度优先搜索还有几个剪枝的技巧：

当前步长*(L-1)如果超过了数组的最大元素，可以不继续搜索
如果在给定步长的情况下，下一个数字的大小超过之前的数字+步长，那么可以不必继续搜索。

因为数组已经排好序。
还有其他的剪枝技巧，体现在代码中了。

时间复杂度

n为数组长度，排序的时间为 O(nlogn)，枚举m时间为n，枚举step时间为65536【short跨度】，枚举全部元素时间为n，因此算法的时间上界为

$$ O(65536n^2) $$

实际情况下，由于剪枝等操作的存在，应优于这个时间。

伪代码

leng = len(Array)
for m=1 to n:if n % m != 0:continueL = n // m# deep searchres, record = findArray(L, m)def findArray(L, m):group = 0pos = np.ones(leng)record = []record_start = []while group != m:step = 0start = getStart(pos)res, step = 寻找合适的步长(start, step, pos, record, L)if res:找到了计数while res is False:没找到弹出栈，往回找if 弹出栈为空:不用找了找不到了return False, None

源代码

#!/usr/bin/env python3
# coding: utf-8
"""
arrays
"""from __future__ import print_function
import numpy as nparray = [-1, 3, 6, 1, 8, 10]
# array = [1, 5, 9, 2, 6, 10]
# array = [1, 2, 4, 5, 8, 9, 13, 14]
# array = [1, 2, 4, 7, 11]
array = sorted(array)
print(array)
leng = len(array)
maxn = array[leng-1]
enable = 1
disable = 0def findJ(j, step, pos, record, L):"""寻找以J为开始，以步长step为开始的数列"""class StepError(Exception):passclass MaxException(Exception):passif pos[j] == disable:return Falsestart = array[j]pre = startrecord_temp = []# remember zerotry:for step in range(step, 40000):# 把第一个数字记录record_temp.append(j)pos[j] = disablepre = startif start + step * (L - 1) > maxn:raise MaxExceptiontry:cnt = 1if cnt == L:record.append(record_temp)return True, stepfor k in range(j, leng):if pos[k] == disable:continueelif pos[k] == enable and array[k] == pre + step:record_temp.append(k)pre = array[k]cnt += 1pos[k] = disableelif pos[k] == enable and array[k] > pre + step:raise StepErrorif cnt == L:record.append(record_temp)return True, stepexcept StepError:# 重置标记for r in record_temp:pos[r] = enablerecord_temp = []except MaxException:# 没有合适的stepreturn False, Nonedef findArray(L, m):"""寻找数组"""pos = np.ones(leng)record = []record_start = []group = 0while group != m:start = 0while pos[start] == disable:start += 1step = 0res, step = findJ(start, step, pos, record, L)if res:group += 1record_start.append((start, step))while res is False:try:start, step = record_start.pop()for r in record.pop():pos[r] = enablegroup -= 1res, step = findJ(start, step+1, pos, record, L)except IndexError:return False, Nonereturn True, recorddef divideArray():"""分离数组m 是分离的数组的个数L 是分离的数组的长度"""for m in range(1, leng+1):if leng % m != 0:continueL = leng // mres, record = findArray(L, m)def trans(x):return array[x]if res:print('lenth: ', L)for r in record:temp = map(trans, r)print(list(temp))returnprint('No result.')if __name__ == '__main__':divideArray()