锐化（高通）空间滤波器

• 平滑通过称为低通滤波
• 类似于积分运算
• 锐化通常称为高通滤波
• 微分运算
• 高过（负责细节的）高频，衰减或抑制低频

使用一阶导数锐化图像－梯度

在图像处理中，一阶导数是用梯度幅度实现的，图像的梯度定义为二维列向量
$$\nabla f\equiv \text{grad}(f)=\left[\begin{array}{c}{g}_x\\ g_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\partial f/\partial x\\ \partial f/\partial y\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3.57)}$$

向量$\nabla f$的幅度表示为$M(x,y)$，也经常使用向量范数$\Vert \nabla f\Vert$
$$M(x,y)=\Vert f\Vert =\text{mag}(\nabla f)=\sqrt{g_x^2+g_y^2}\text{\hspace{1em}(3.58)}$$

是梯度向量方向的变化率在$(x,y)$处的值，是与原图像大小相同的图像，通常称为梯度图像

在某些实现中，使用绝对值来近似平方运算和平方根运算更合适：
$$M(x,y)\approx |g_x|+|g_y|\text{\hspace{1em}(3.59)}$$

这个表达式通常会损失各向同性。

最简近似的一阶导数是$g_x=(z_8-z_5)$和$g_y=(z_6-z_5)$

罗伯特交叉梯度算子，早期的图像处理使用交叉差值

$$g_x=(z_9-z_5)和g_y=(z_8-z_6)\text{\hspace{1em}(3.60)}$$
梯度图像计算为：
$$M(x,y)=[(z_9-z_5{)}^2+(z_8-z_6{)}^2{]}^{1/2}\text{\hspace{1em}(3.61)}$$
$$M(x,y)\approx |z_9-z_5|+|z_8-z_6|\text{\hspace{1em}(3.62)}$$

$3\times 3$的核
$$g_x=\partial f/\partial x=(z_7+2z_8+z_9)-(z_1+2z_2+z_3)\text{\hspace{1em}(3.63)}$$
$$g_y=\partial f/\partial y=(z_3+2z_6+z_9)-(z_1+2z_4+z_7)\text{\hspace{1em}(3.64)}$$
$$M(x,y)=[g_x^2+g_y^2{]}^{1/2}=[[(z_7+2z_8+z_9)-(z_1+2z_2+z_3){]}^2+[(z_3+2z_6+z_9)-(z_1+2z_4+z_7){]}^2{]}^{1/2}\text{\hspace{1em}(3.65)}$$

def visualize_show_annot(img_show, img_annot, ax, string='img_annot'):"""add annotation to the image, values of each pixelparam: img: input imageparam: ax: axes of the matplotlib"""height, width = img_annot.shapeimg_show = img_show[:height, :width]ax.imshow(img_show, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)thresh = 10 #img_show.max()/2.5for x in range(height):for y in range(width):if string == 'img_annot':ax.annotate(str(round(img_annot[x][y],2)), xy=(y,x),horizontalalignment='center',verticalalignment='center',color='white' if img_annot[x][y]>thresh else 'black')else:ax.annotate(string + str(x + y + 1), xy=(y,x),horizontalalignment='center',verticalalignment='center',color='white' if img_annot[x][y]>thresh else 'black')

# 一阶导数算子，罗伯特交叉梯度算子，Sobel算子
height, width = 3, 3
img_show = np.ones([height, width], dtype=np.uint8) * 250
img_ori = np.zeros([height, width], dtype=np.uint8)fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax1 = fig.add_subplot(2, 3, 1)
ax1.set_title('3x3 Region'), visualize_show_annot(img_show, img_ori, ax1, string='z'), plt.xticks([]), plt.yticks([])img_ori = np.zeros([2, 2], np.int)
img_ori[0, 0] = -1
img_ori[1, 1] = 1
ax2 = fig.add_subplot(2, 3, 2)
ax2.set_title('Robert operator'), visualize_show_annot(img_show, img_ori, ax2), plt.xticks([]), plt.yticks([])img_ori = np.zeros([2, 2], np.int)
img_ori[0, 1] = -1
img_ori[1, 0] = 1
ax3 = fig.add_subplot(2, 3, 3)
ax3.set_title('Robert operator'), visualize_show_annot(img_show, img_ori, ax3), plt.xticks([]), plt.yticks([])img_ori = np.zeros([3, 3], np.int)
img_ori[0, :] = np.array([-1, -2, -1])
img_ori[2, :] = np.array([1, 2, 1])
ax4 = fig.add_subplot(2, 3, 4)
ax4.set_title('Sobel operator'), visualize_show_annot(img_show, img_ori, ax4), plt.xticks([]), plt.yticks([])img_ori = np.zeros([3, 3], np.int)
img_ori[:, 0] = np.array([-1, -2, -1])
img_ori[:, 2] = np.array([1, 2, 1])
ax5 = fig.add_subplot(2, 3, 5)
ax5.set_title('Sobel operator'), visualize_show_annot(img_show, img_ori, ax5), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.tight_layout()
plt.show()

# Sobel梯度增强边缘
img_ori = cv2.imread("DIP_Figures/DIP3E_Original_Images_CH03/Fig0342(a)(contact_lens_original).tif", 0)sobel_x = np.zeros([3, 3], np.int)
sobel_x[0, :] = np.array([-1, -2, -1])
sobel_x[2, :] = np.array([1, 2, 1])sobel_y = np.zeros([3, 3], np.int)
sobel_y[:, 0] = np.array([-1, -2, -1])
sobel_y[:, 2] = np.array([1, 2, 1])# gx = separate_kernel_conv2D(img_ori, kernel=sobel_x)
# gy = separate_kernel_conv2D(img_ori, kernel=sobel_y)gx = cv2.filter2D(img_ori, ddepth=-1, kernel=sobel_x)
gy = cv2.filter2D(img_ori, ddepth=-1, kernel=sobel_y)gx = np.where(gx >= 100, gx, 0)
gx = np.where(gx < 100, gx, 1)
gy = np.where(gy >= 100, gy, 0)
gy = np.where(gy < 100, gy, 1)# 先对gx gy做二值化处理再应用下面的公式
# img_sobel = np.sqrt(gx**2 + gy**2)   # 二值化后，平方根的效果与绝对值很接近
img_sobel = abs(gx) + abs(gy)
img_sobel = np.uint8(normalize(img_sobel) * 255)plt.figure(figsize=(15, 12))
plt.subplot(1, 2, 1), plt.imshow(img_ori,   'gray', vmax=255), plt.title("Original"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(1, 2, 2), plt.imshow(img_sobel, 'gray', vmax=255), plt.title("Sobel"), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.tight_layout()
plt.show()

梯度还可用来突出灰度级图像中很难看到的小尺度图像（如异物、保护液中的气泡或镜片中的微小缺陷）。在平坦的灰度场中增强小的不连续的能力是梯度的呬个重要特征