编程之美2.13子数组的最大乘积

题目：

给定一个长度为N的数组，只许用乘法，不许用除法，计算任意（N-1）个数的组合中乘积最大的一个组，并写出算法的时间复杂度。

如果把所可能的乘积找出来，共有（N-1）个数，n个n-1的数的组合，时间复杂度为O（N^2）。

解法一：

在一个数组中，以i为界限，分别计算i前面s[i-1]的积，后面t[i+1]的积

p[i]=s[i-1]*t[i+1]即为这个数组中除去i的所有数的乘积。

时间复杂度为，从头到尾和从尾到头遍历数组得到s[]和t[]的时间，加上p[]的时间3N,加上查找最大值的时间复杂度，最后总得时间复杂度为O(n)。

注意在代码编写的过程中，因为若干个数的乘积较大，需要把数组定义为longlong型。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 1000

long long A[MAXN];
long long s[MAXN];
long long t[MAXN];
long long p[MAXN];

int main()
{
    int n, i;
    cin >> n;
    for (i=1; i<=n; i++)
        cin >> A[i];
    // 从前往后用叠乘法
    s[0] = 1;
    for (i=1; i<n; i++)
        s[i]=A[i]*s[i-1];
    // 从后往前用叠乘法
    t[n+1] = 1;
    for (i=n; i>1; i--)
        t[i]=A[i]*t[i+1];
    // 计算出n-1个n-1数连乘
    for (i=0; i<=n-1; i++)
        p[i] = s[i]*t[i+2];
    long long maximum = p[0];
    // 获取其中的最大值
    for (i=1; i<=n-1; i++)
        maximum = max(maximum, p[i]);
    cout <<"max is "<< maximum << endl;
}

 

解法二

近一步分析，假设N个整数的乘积为P，从P的正负性下手。

1.P=0；数组中至少含一个0。除去一个0，其他N-1个数的乘积为Q

　　Q=0；数组中至少2个0；所以N-1的乘积依然为0；

　　Q>0；用0替换N-1中的任意一个数，得出的Pn-1=0，所以最大值为Q；

　　Q<0；用0替换N-1中的任意数，Pn-1=0，最大值为0；

2.P<0

　　如果去除数组中的一个负数，剩下的n-1个数的乘积为正，去掉绝对值最小的负数得到的n-1个数最大。

3.P>0

　　去掉数组汇总最小的正数值，如果没有正数都是负数，取出绝对值最大的负数值。

 

判断正负的过程，一般不使用所有数据直接相乘的操作，因为数据的值可能过大，有溢出的危险，所以可以通过判断数组中，正数，负数，零的个数。遍历一次数组，即可得到这些数据，还有绝对值最大最小的正负数。时间复杂度为O(N)。