四、极大似然参数估计

         此篇博文，玉米将和大家分享一下“张氏标定”除几何推导外的另外一大精髓：参数估计。

         张教授在大作“A Flexible New Technique for Camera Calibration”中的原话如下：” The above solution is obtained through minimizing an algebraic distancewhich is not physically meaningful. We can refine it through maximum likelihoodinference”.意思是：上面的几何推导仅仅是纯代数上的拟合，没有物理意义。下面让我们通过极大似然理论对得到的结果进行改善。

       顺着张教授的意思，玉米先在这里为大家从概念上讲述一下极大似然估计。

       极大似然估计是一种估计总体未知参数的方法。它主要用于点估计问题。所谓点估计是指用一个估计量的观测值来估计未知参数的真值。说穿了就一句话：就是在参数空间中选取使得样本取得观测值的概率最大的参数。

       我们定义似然函数：

       总体分布为离散型的：（p是已知的分布律）

 

        总体分布为连续性的：（f为概率密度函数）

        极大似然法就是在的可取范围内，挑选出来的使L达到最大的未知参数的估计值。

         如果在内：，那么就称为极大似然估计值。

            列了这么一大圈儿概念，估计大家看的都昏昏入睡了。玉米在这里用通俗点儿的方式解释一下极大似然估计：

        对很多实验，我们可以观察到样本，但影响样本的参数却是未知的。那我们就得对样本进行估计。既然我们要去估计，那么就想要估计的准。极大似然法就只在概率分布的观念下，指导我们估计的更准的方法。现实世界中，存在着一条普遍规律：与现实相差越远的概率越小。这就相当于人群中，非主流总是比主流要少一样，偏差大的总是占少数。所以，可能发生的概率越大就会越接近真实值。极大似然法就是应用这种思想，认为可能性最大的就是最优的估计值。即极大似然估计值就是最接近真实值的参数值。

          那么，极大似然为什么有这么一个别致的名字呢？什么是似然呢？是因为估计值不是随机变量，所以不能把它的可能性称为概率，那么数学家们就想了这样(likelihood)一个名字来代表可能性。

       极大似然法的一些概念上的问题玉米就讲到这里了。下面然玉米带这大家分析一个具体问题：张教授在张氏标定法中所用的极大似然估计。

       首先来看一下，为什么标定的内外参数可以用极大似然法进行估计：

       因为我们是假定图像上的角点是被噪声干扰的，且我们认为这些噪声是高斯噪声。那么对于噪声的幅度就是给观测值造成的误差。但高斯噪声的概率密度我们是已知的，所以我们可以用前面所述的极大似然估计的思想去“猜”真值。

       那么接下来我们就需要构造一个似然函数，然后寻找其最大值了。张教授在文章中直接略过推导，直接给出了公式：

         说当此式取得最小值时，就是参数的最大似然估计值。

       玉米在这里为大家讲一下自己的理解：

       设，角点附近的噪声服从高斯分布

       则：角点m_ij的样本值服从如下，概率密度函数：

       现在构造，似然函数：

        现在让L取得最大值，则可令下式最小：

        那么怎么令上面这个目标函数达到最小值呢，张氏标定法运用了可以用来解决多参数非线性系统优化问题的Levenberg-Marquardt算法。对于该方法，详细的介绍大家可以参照《The levenberg-marquardt algorithm, implementation andtheory》一文进行深入了解。这里给出下载本文的链接：

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0067700

         那么张氏标定法在不考虑镜头畸变的情况下的，获取摄像机内外参数的数理推导过程。玉米就为大家讲到这里了。下面一篇博文，玉米会给大家分析一下，张氏标定法是怎样分析摄像机的非线性畸变的。

 

还是老话：玉米才疏学浅，讲解之中难免有纰漏，请大家谅解，并指正。