五、畸变矫正—让世界不在扭曲

          这篇博文所要讲述的内容，是标定的主要用途之一：矫正摄像机的畸变。对于图像畸变矫正的方法，张正友教授也在其大作“A Flexible New Technique forCamera Calibration”中给出。

         玉米在这里先为大家介绍一下，摄像机畸变主要有哪几种以及这些讨厌的畸变从何而来。

摄像机畸变主要包含：镜像畸变、切向畸变。玉米在这里分别讲述一下，并引用一些图片，使大家对他们有一个直观的认识。

         1．径向畸变：产生原因是光线在远离透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲径向畸变主要包含桶形畸变和枕形畸变两种。下面两幅图是这两种畸变的示意：

          它们在真实照片中是这样的：

           2.切向畸变：产生的原因透镜不完全平行于图像平面，这种现象发生于成像仪被粘贴在摄像机的时候。下面图片来自于《学习opencv》p413。

          畸变矫正，首先应该知道畸变系数，然后做与畸变相反的变换，消除畸变。

          张氏标定法中只关注径向畸变。我们是按照张氏标定，计算畸变系数的。那么，下面让我们来看一下径向畸变的数学表达。

          因为在实际情况下，径向畸变较小，所以其可以用主点(principle point)周围的泰勒级数展开的前几项进行描述。张氏标定法，利用前两项来确定径向畸变的畸变系数。数学表达式如下：

其中，代表理想无畸变的像素坐标，代表实际径像畸变的情况下的像素坐标，代表主点，代表理想无畸变时的连续图像坐标，代表实际径像畸变的情况下的连续图像坐标。K₁,k₂代表前两阶的畸变参数。。

         那么对于图像上的任意一点，我们有两个个等式。化成矩阵形式：

        通过前面两篇博文所介绍的内容，求得的摄像机模型，我们可以计算出（可通过摄像机模型直接解出）、（与是否畸变无关，直接在已求得的内参阵中得到）、（即直接读取的有畸变的像素坐标），（由摄像机模型可以通过物体的世界坐标点解出）。那么，两个方程两个未知数，我们用一点就可以求的径向畸变了。因为我们有n张图片，每张图片上有m个点，所以我们可以得到2mn个等式。运用最小二乘法对结果进行优化。可用下式解径向畸变k=[k₁,k₂]。

其中，D等式左边的方程的系数矩阵，d是等式右边的有畸变的像素坐标与无像素坐标之差构成的矩阵。有上式，一步到位，计算出畸变系数。

       但是，但是，大家先别急。我们的参数求解之路还没有结束。为了使标定得到的估算实际的、存在径向畸变的摄像机参数。我们需要把，刚刚求解得到的畸变参数，连同前面得到的理想无畸变条件下的内外参数一起，进行极大似然估计。

       这里的极大似然估计方法与上一篇博文《极大似然参数估计》相同，玉米在这里就不在赘述。

依然是以最小化下列函数为目标，只不过此次参数估计中又多加了k1,k2：

        然后，仍然用Levenberg-Marquardt算法进行计算。最终就得到了，我们想要在考虑畸变情况下，摄像机的参数。

张氏标定，大功告成！

       下面让我们矫正畸变：

        就是这样一个简单的公式，就完成了畸变矫正。代表矫正畸变后的像素坐标，代表实际径像畸变的情况下的图像的像素坐标。

        最后给大家展示两幅图，让大家看一下畸变矫正的成果：

          这就是张氏标定带给我们的第一个直观的好处，后面还有两个大好处，玉米将为您介绍。

          玉米才疏学浅，恳请请大家批评指正！