概述

如果我们有一个上半球的余弦分布函数$(D_o)$，并对这个余弦分布函数进行一个矩阵$(M)$变换，变换为一个新的分布函数$(D)$。

1. $D=M{D}_o$

这就是基本思想：用一个余弦分布函数来拟合出不同的分布函数，并且误差很小。

LTC基本定义与性质

我们定义$D_o$为我们的基函数，也就是我们的原始分布函数。
我们在$D_o$上采样一个方向向量${\omega }_o$，那么我们对这个方向向量做一个线性变换，也就是做一个$M$矩阵乘法变换为一个新的方向向量$\omega$。

2. $\omega =\frac{M{\omega }_o}{||M{\omega }_o||}$,
3. ${\omega }_o=\frac{M^{-1}\omega }{||M^{-1}\omega ||}$,

那么一个目标分布函数$D(\omega )$如何变换为$D_o({\omega }_o)$呢？

即就是一个变量替换：

4. $D(\omega )=D_o({\omega }_o)\frac{\partial {\omega }_o}{\partial \omega }=D_o(\frac{M^{-1}\omega }{||M^{-1}\omega ||})\frac{|M^{-1}|}{||M^{-1}\omega |{|}^3}$

$\frac{\partial {\omega }_o}{\partial \omega }=\frac{|M^{-1}|}{||M^{-1}\omega |{|}^3}$是Jacobian项，可以从几何关系上进行推导。

那就让我们简单推导一下吧！(假如想要了解详细，请参考原文哦！)

这要从立体角开始推导啦。我们定义一个原始分布上的立体角$\partial {\omega }_o$，将其进行$M$变换，得到一个新的立体角$\partial \omega$。

5. $\partial \omega =\partial {\omega }_{o}A\frac{cos\theta }{r^2}$

这就是一个立体角的定义。让我们来探讨一下里面的面积与距离的表达吧！

偷懒一下，可以从图中看到面积与距离的表达，那么让我们来化简一下吧。

6. $M{\omega }_1\times M{\omega }_2=|M|M^{-T}({\omega }_1\times {\omega }_2)=|M|M^{-T}{\omega }_o$
7. $\frac{\partial \omega }{\partial {\omega }_o}=\frac{|M|}{||M{\omega }_o|{|}^3}$
8. $\frac{\partial {\omega }_o}{\partial \omega }=\frac{M^{-1}}{||M^{-1}\omega |{|}^3}$

如果$M$是缩放矩阵或者旋转矩阵，这个Jacobian项等于一。即分布形状是不变的。

让我们假设矩阵是缩放矩阵($M=\lambda I$)，

9. $|M^{-1}=|M|=|\lambda I|={\lambda }^3$
10. $||M^{-1}\omega ||=||\lambda I\omega ||=\lambda$
11. $\frac{\partial {\omega }_o}{\partial \omega }=\frac{|M^{-1}|}{||M^{-1}\omega |{|}^3}=1$

让我们假设矩阵是旋转矩阵$M=R$。

12. $|M|=|M^{-1}|=1$
13. $||M^{-1}\omega ||=1$
14. $\frac{\partial {\omega }_o}{\partial \omega }=1$

那么被变换后的分布$D$有哪些性质呢？

首先是范数：

15. ${\int }_{\Omega }D(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_{\Omega }{D}_o\frac{\partial {\omega }_o}{\omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_{\Omega }{D}_o({\omega }_o)\mathrm{d}{\omega }_o$

其次对于多边形积分相等：

16. ${\int }_{P}D(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_{P_o}{D}_o({\omega }_o)\mathrm{d}{\omega }_o$
    $P_o=M^{-1}P$

使用LTC近似BRDF

我们在对LTC有了一些基本的认识之后，让我们用它来进行拟合BRDF吧！ 这里作者使用了各项同性的GGX微表面分布模型。

对于一个原分布$D_o$，我们选择一个上半球的余弦分布，当然还可以选择$cosin{e}^2$，均匀半球分布等：

17. $D_o({\omega }_o=(x,y,z))=\frac{1}{\pi }max(0,z)$

我们来定义一下目标分布吧，也就是我们将要拟合的BRDF分布函数带着余弦项的：

18. $D\approx \rho ({\omega }_v,{\omega }_l)cos{\theta }_l$

对于一个各项同性的材质而言，BRDF函数分布只依赖于入射方向${\omega }_v=(sin{\theta }_v,0,cos{\theta }_v)$和粗糙度$\alpha$。

我们发现可以用一个矩阵$M$来很好的拟合$D$，矩阵被写为：

19. $M=\left[\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ d& 0& 1\end{array}\right]$

可以看见这个矩阵只有四个参数需要被确定。

可以从图中看出拟合效果很不错！

使用LTC进行多边形光源的着色

我们在不同的多边形光源$P$上计算直接光照的着色，${\omega }_v$代表视口方向(view direction)，$\rho$代表BRDF函数，$L$是多边形光源出射的radiance。

20. $I={\int }_{P}L({\omega }_l)\rho ({\omega }_v,{\omega }_l)cos{\theta }_l\mathrm{d}{\omega }_l$

我们使用LTC对BRDF函数进行拟合，可得：

21. $I={\int }_{P}L({\omega }_l)\rho ({\omega }_v,{\omega }_l)cos{\theta }_l\mathrm{d}{\omega }_l\approx {\int }_{P}L({\omega }_l)D({\omega }_l)\mathrm{d}{\omega }_l$

这里我们假设多边形光源出射的radiance是一个常数，即$L({\omega }_l)=L$，那么我们可以进一步简化：

22. $I={\int }_{P}L({\omega }_l)D({\omega }_l)\mathrm{d}{\omega }_l=L{\int }_{P}D({\omega }_l)\mathrm{d}{\omega }_l$

我们再进行积分变换：

23. ${\int }_{P}D(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_{P_o}{D}_o({\omega }_o)\mathrm{d}{\omega }_o=E(P_o)$

对于一个余弦分布的半球面函数上的多边形积分是有表达式的，即：

24. $E(p_1,...,p_n)=\frac{1}{2\pi }{\sum }_{i=1}^{n}acos(<p_i,p_j>)⟨\frac{p_i\times p_j}{||p_i\times p_j||},\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]⟩$

这里的$j=(i+1)mod(n)$，注意将多边形光源进行变换后，要将光源进行上半球面的裁剪。

这里的证明就不再赘述了。

对于带着纹理的光源来说，作者给出的方法很奇怪，就不再讨论。

总结

对于这篇paper，将一种数学方法引入了图形学，是很不错的。

优点：

• 对于简单多边形光源(矩形，三角形等)来说，对于场景的着色很快，效果很棒，误差小。

缺点：

• 复杂多边形光源(心形等)的着色速度慢，已经很难达到实时。
• 只能针对二维平面上的多边形光源。
• 只能进行直接光照着色。

实现流程：

1. 通过视口方向${\omega }_v，\alpha$进行采样LUT得到矩阵$M$。将面积光源进行旋转，即面积光源坐标系转变为以像素点为原点的局部坐标系。即构造一个TBN矩阵。
   mul(Minv, transpose(mat3(T, Ｂ, N)));
2. 将世界坐标系下的面积光源的顶点变换。
3. 裁剪多边形。
4. 进行线积分。

这里给出LTC的网站，想了解更详细的内容可以看看哦！

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