【PID学习笔记10】PID公式分析

写在前面

前面已经将控制系统的基础知识点过了一遍，从本节开始，将正式学习PID控制的相关知识，将会从基本的PID公式概念解释，再基于matlab仿真介绍十几种数字式PID的基本概念。本文重点讲解PID的经典公式。

一、连续与离散的概念

连续就是时间和数值上是连续不间断的，在图形表示上是一条平滑的曲线。
离散就是采用时间采样的方式使得时间上离散；并且量化数值，使得数值是离散的。
图形化表示如下：

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信号算式表示如下表：

运算	连续表示	运算	离散表示
积分	$\int_0^t x(t)dt$	求和	$\displaystyle \sum_{n=0}^N x(n)$
求导	$\frac{dx(t)}{dt}$	变化率	$\frac{x(n)-x(n-1)}{\Delta t}$

二、PID公式分析

公式1:
$u(t)=k_p(e+\frac{1}{T_i}\int_0^t edt+T_d\frac{de}{dt})$
其中 $k_p$ 为比例系数， $T_i$ 为积分时间常数， $T_d$ 为微分时间常数。

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上图是前面我们学过的闭环控制系统框图，我们看到图中标记的这个u(t)是控制器的输出，也就是控制器环节与执行器之间的信号量。公式中有一个熟悉的参数 $e$ ，这是误差，也是图中控制系统中的 $E$ （等于期望输出减去实际输出）。

公式分成三部分相加，第一部分主要是误差变量，第二部分主要是一个从 $0$ 到 $t$ 对误差 $e$ 的积分运算，第三部分主要是对误差 $e$ 求导。

$k_p$ 是比例系数， $T_i$ 是积分时间， $T_d$ 是微分时间，这三个参数也是PID里要调的三个参数，这三个参数在实际 PID 实现中，如单片机实现、matlab、simulink仿真中都是经过化简后直接调节 $K_p$ 、 $K_i$ 、 $K_d$ 这三个参数。

将公式1转化成常用的形式如下，分为连续形式和离散形式
连续形式的常用PID公式：

$u(t)=k_p e+k_i\int_0^t edt+k_d\frac{de}{dt}$

离散形式的常用PID公式：

$u(t)=k_p e_i+k_i \displaystyle \sum_{i=0}^N e_i+k_d \frac{e_i-e_{i-1}}{\Delta t}$

这样，闭环控制系统框图可以转化为：

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三、PID控制器各校正环节的作用

比例环节：
- 成比例地反映控制系统的偏差信号 $e (t)$ ，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。
积分环节：
- 主要用于消除静态误差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数 $T$ , $T$ 越大，积分作用越弱，反之则越强。
微分环节：
- 反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。

四、以无人机高度控制的实例进一步解释公式

（1）Proportional比例控制
纯比例控制下：
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对照前面的PID公式，按下图中的高度值计算。

我们来看第一幅图，假如我们要让无人机悬停在 $10$ 米的高度，设为 $h = 10$ ，而此时，它的高度是 $2$ 米，设为 $h 0 = 2$ 。那就有 $e = h - h 0 = 8$ 米的误差，假设Kp等于0.5，则比例环节 $K_p* e=0.5*8=4$ 米，比例控制就是每次调节高度是误差的 $K_p$ 倍，第一次调节后，无人机上升了4米。

第二幅图，此时无人机的高度，设为 $h 1 = 2 + 4 = 6$ 米，也就是最初未调节前无人机的高度 $2$ 米，再加上第1次调节的高度 $4$ 米，现在是 $6$ 米。那我们看现在的误差是多少，现在的误差是设定高度 $10$ 米减去现在高度 $6$ 米，即 $e = h - h 1 = 10 - 6 = 4$ 米。再乘以 $K_p$ ，即 $K p * e = 0.5 * 4 = 2$ 米，目前还有两米误差，依次进行下去，随着误差的减小，每次调节上升的量也逐渐减小，但最终会接近 $10$ 米的目标高度，这个过程就是比例控制。

可以看到比例系数 $K_p$ 越大，系统反应越快，无人机可以更快的靠近目标，但比例控制也有天生的弱点，在实际过程中有着各种各样的干扰，比如无人机到达 $8$ 米后，有持续的风将无人机向下吹，每次正好往下吹 $1$ 米，而比例控制往上升的高度误差 $2$ 乘以系数 $0.5$ ，也正好是 $1$ 米，这样的话，这个无人机就会悬停在这个高度，无法达到指定高度，这就是静态误差（也叫稳态误差）。也就是说虽然较大的比例系数能让系统快速到达目标值附近，但 $K_p$ 调的再大，也避免不了与目标值存在稳态误差，这就需要引入积分控制。

P作用下的阶跃响应

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（2）Integral积分控制

在比例控制上，引入积分控制。
在这里插入图片描述

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积分控制是对过去所有的误差求和，在离散的情况下，就是做累加，无人机经过两次控制，第一次误差是 $8$ 米，第二次误差是 $4$ 米，那么它的累积误差就是 $12$ 米，如果积分系数是 $0.1$ ，那即便此时向下吹的高度和比例控制上升的高度效果抵消，积分控制还是可以让无人机往上吹 $1.2$ 米，这样就可以逐渐达到目标高度。

对于这个控制过程加入合适的积分控制系数后，被控量就能既快速又精准的到到目标值。但是，这样的控制仍然不完美，至少在一些对偏差控制要求比较严格的场合，仍然是一次失败的调节，因为这个控制曲线的超调量太大。如果这个曲线是汽车自动驾驶情况下方向盘的控制曲线，这么大的过冲，对于乘客来说，肯定是一场精心动魄的体验。