基本概念

在数论中，整除不得不说是一种最为基础的知识了。
$a$ 整除 $b$，记作 $a|b$
设 $a,b\in \mathbb{Z}$ 且 $b\ne 0$，则 $b|a$ 当且仅当 $\exists q\in \mathbb{Z}$ 满足 $qb=a$

同余可以看做是整除的进阶版了。
$a$ 除以 $b$ 的余数，记作 $a\mathrm{mod}b$
设 $a,b\in \mathbb{Z}$ 且 $b\ne 0$，则唯一存在 $q\in \mathbb{Z}$ 满足 $qb+r=a$ 使得 $0\le r<b$，称为带余除法，记 $a\mathrm{mod}b=r$
设 $x,y,m\in \mathbb{Z}$ 且 $m\ne 0$，当且仅当 $x\mathrm{mod}m=y\mathrm{mod}m$，称 $x$ 与 $y$ 在模 $m$ 意义下同余，记作 $x\equiv y(\mathrm{mod}m)$

基本性质

作为一个 OIer，似乎并不需要知道以下性质的证明，虽然很好证就是了。

• 若 $a|b,b|c$，则 $a|c$
  不妨设 $b=pa,c=qb$ 其中 $p,q\in \mathbb{Z}$
  联立得 $c=pqa=pq\cdot a$
  则 $a|c$
• 若 $a\mid b$ 且 $a\mid c$，则 $a|bx+cy\forall x,y\in \mathbb{Z}$
  不妨设 $b=pa,c=qa$ 其中 $p,q\in \mathbb{Z}$
  则 $bx+cy=pxa+qya=(px+qy)\cdot a$
  则 $a|bx+cy$
• 若 $a\mid b$ 且 $c\mid d$，则 $ac\mid bd$
  不妨设 $b=pa,d=qc$ 其中 $p,q\in \mathbb{Z}$
  则 $bd=pa\cdot qc=pq\cdot ac$
  则 $ac|bd$
• $p\mid (a-b)$ 等价于 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$
  不妨设 $b=,d=qc$ 其中 $p,q\in \mathbb{Z}$
  则 $bd=pa\cdot qc=pq\cdot ac$
  则 $ac|bd$
• $a\equiv a(\mathrm{mod}p)$
  易证。
• $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 等价于 $b\equiv a(\mathrm{mod}p)$
  易证。
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 且 $b\equiv c(\mathrm{mod}p)$，则 $a\equiv c(\mathrm{mod}p)$
  不妨设 $b=a+k_{1}p,c=b+k_{2}p$
  则 $c=a+k_{1}p+k_{2}p=a+(k_1+k_2)\cdot p$
  则 $a\equiv c(\mathrm{mod}p)$
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$，则 $a+c\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$
  不妨设 $b=a+k_{1}p$
  则 $b+c=a+k_{1}p+c\equiv a+c(\mathrm{mod}p)$
  则 $a+c\equiv b+c(\mathrm{mod}p)$
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$，则 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}p)$
  不妨设 $b=a+k_{1}p$
  则 $bc=(a+k_{1}p)\cdot c=ac+k_{1}pc\equiv ac(\mathrm{mod}p)$
  则 $ac\equiv bc(\mathrm{mod}p)$
• 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$，则 $a^n\equiv b^n(\mathrm{mod}p)$
  不妨设 $b=a+k_{1}p$
  则由二项式定理 $b^n=(a+k_{1}p)\cdot c={\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)\cdot a^i(k_{1}p{)}^{n-i}\equiv a^n(\mathrm{mod}p)$
  则 $a^n\equiv b^n(\mathrm{mod}p)$