Written Part

1. 基于表 $1$ 回答下列问题（min_sup=40%, min_conf=75%）：

表 1    数据集

• 使用 Apriori 算法确定全部的频繁项集。

  Apriori 算法执行过程如图 $1$ 所示。

  

  图 1    Apriori

  可以看出，频繁项集有 {a}，{b}，{c}，{d}，{e}，{ab}，{ad}，{ae}，{be}，{de}，{ade}。

• 计算关联规则的置信度，并判断这些置信度是否具有对称性。
  $$\begin{gathered} \mathrm{Confidence}(a\Rightarrow de)=\frac{4}{7} \\ \mathrm{Confidence}(d\Rightarrow ae)=\frac{4}{6} \\ \mathrm{Confidence}(e\Rightarrow ad)=\frac{4}{8} \\ \mathrm{Confidence}(ad\Rightarrow e)=\frac{4}{4} \\ \mathrm{Confidence}(ae\Rightarrow d)=\frac{4}{6} \\ \mathrm{Confidence}(de\Rightarrow a)=\frac{4}{5} \end{gathered}$$
  显然，不满足对称关系。

• 确定强关联规则。

  其中只有 $\mathrm{Confidence}(ad\Rightarrow e)\ge$ min_conf，$\mathrm{Confidence}(de\Rightarrow a)\ge$ min_conf，所以强关联规则为
  $$\begin{gathered} ad\Rightarrow e[0.4,1.0] \\ de\Rightarrow a[0.4,0.8] \end{gathered}$$

2. 基于表 $1$ 回答下列问题（min_sup=40%）：

• 使用 FP-Growth 算法确定频繁项集、FP 树和条件模式基。

  根据 C1，可以统计出 $\mathrm{F}\text{-}\mathrm{list}=e,a,b,d,c$。根据 $\mathrm{F}\text{-}\mathrm{list}$，对表 $1$ 进行筛选、排序，得到表 $2$。

  Transaction ID	Items Bought
  0001	{e, a, d}
  0024	{e, a, b, c}
  0012	{e, a, b, d}
  0031	{e, a, d, c}
  0015	{e, b, c}
  0022	{e, b, d}
  0029	{d, c}
  0040	{a, b, c}
  0033	{e, a, d}
  0038	{e, a, b}

表 2    经过过滤、排序后的数据

​ 构建的 FP 树如图 $2$ 所示。

图 2    FP 树

从出现频次少的 item 开始确定条件模式基、条件 FP 树和频繁项集。

c 的条件模式基为 {{e,a,b:1}, {e,a,d:1}, {e,b:1}, {d:1}, {a,b:1}}，统计基于其条件模式基的候选一项集：{a:3,b:3,e:3,d:2}。由于均小于最小支持度，所以不存在（条件）频繁一项集，无法构建条件 FP 树，也没法构建频繁二项集。

d 的条件模式基为 {{e,a,b:1}, {e,a:3}, {e,b:1}}，统计候选一项集：{e:5, a:4, b:2}。只有 b 小于最小支持度，所以频繁一项集为 {e:5, a:4}。现在，以 d 的条件模式基作为”数据集“，执行构建 FP 树的过程，即按照频次对一项集排序，去掉数据集中每条数据的非频繁项并排序，最后基于处理后的数据集构建 FP 树，该树为 d 的条件 FP 树，如图 $3$ 所示。

图 3    d-conditional FP tree

由于该 FP 树只有一条路径，因此无需递归建树，根据 d 对应的条件 FP 树统计的频繁项集为 {ead:4, ed:5, ad:4}。在表 $2$ 所示的原始数据集中进行验证，结果正确。

b 的条件模式基为 {{e,a:3}, {e:2}, {a:1}}，频繁一项集为 {e:5, a:4}。条件 FP 树如图 $4$ 所示。

图 4    b-conditional FP tree

统计频繁二项集为 {eb:5, ab:4}。由于不止一条路径，所以统计频繁三项集需要递归建树。建立 ba 条件 FP 树，需要从图 $4$ 中确定 a 的条件模式基 {{e:3}}，以该条件模式基为”数据集“，统计频繁一项集发现为空，所以无法建立 ba 条件 FP 树，故无法生成频繁三项集。再建立 be 条件 FP 树，显然，其条件模式基为空，建树与生成频繁项集也无从谈起。

a 的条件模式基为 {{e:6}}，频繁一项集为 {e:6}。条件 FP 树如图 $5$ 所示，由此确定频繁项集为 {ea:6}。

图 5    a-conditional FP tree

e 的条件模式基为空，所以不考虑。

综上所述，根据 FP-Growth 算法确定的频繁项集为 {a}，{b}，{c}，{d}，{e}，{ab}，{ad}，{ae}，{be}，{de}，{ade}。与 Apriori 算法结果一致。

• 对比 FP-Growth 和 Apriori 的效率。

  FP-Growth 算法只需要对数据集遍历两次，所以速度更快。FP 树将集合按照支持度降序排序，不同路径如果有相同前缀路径共用存储空间，使得数据得到了压缩。相比于 Apriori，FP 树第二次遍历会存储很多中间过程的值，会占用很多内存。

3. 使用 AGNES 算法将表 $4$ 所示的十个点聚类成两类。

表 4    十点位置

① 合并 A3 和 C4，二者的欧式距离为 $2$，记簇为 $\alpha$。

② 合并 B1 和 B2，二者距离为 $\sqrt{6}$，记簇为 $\beta$；

③ 合并 B3 和 $\alpha$，二者距离由 B3 与 $\alpha$ 中最近点的距离定义，即 B3 与 C4，距离为 $\sqrt{8}$，记簇为 $\alpha$；

④ 合并 $\beta$、A1 和 C2，$\beta$ 与 A1 的距离定义为 C2 与 A1 的距离，即 $\sqrt{14}$，B2 与 A1 的距离也为 $\sqrt{14}$，所以三者合并，记簇为 $\beta$；

⑤ 合并 A2 和 C1，二者距离为 $\sqrt{17}$。另外，合并 $\alpha$ 和 $\beta$，二者距离由 B3 和 C2 决定，也为 $\sqrt{17}$。分别记簇为 $\gamma$ 和 $\alpha$；

⑥ 合并 C3 和 $\alpha$，二者距离由 C3 和 A1 决定，即 $\sqrt{30}$，记簇为 $\alpha$。

此时只剩两个簇，$\alpha$ 和 $\gamma$，分别为 {A2, C1} 和 {A1, A3, B1, B2, B3, C2, C3, C4}。

通过程序代码验证，如图 $6$ 所示。

图 6    分类前(左)、分类过程(中)和分类后(右)

对应代码如下：

#步骤1：创建数据
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
X = np.array([[4,2,5], [10,5,2], [5,8,7], [1,1,1], [2,3,2], [3,6,9], [11,9,2], [1,4,6], [9,1,7], [5,6,7]])
fig = plt.figure(figsize=(8, 5))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], X[:, 2], c='b')
plt.show()
#步骤 2：调用函数实现层次聚类
from scipy.cluster.hierarchy import linkage
Z = linkage(X, method='single', metric='euclidean')
#步骤 3：画出树形图
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram
plt.figure(figsize=(8, 5))
dendrogram(Z,p=1, leaf_font_size=10)
plt.show()
#步骤 4：获取聚类结果
from scipy.cluster.hierarchy import fcluster
# 根据聚类数目返回聚类结果
k = 2
labels_2 = fcluster(Z, t=k, criterion='maxclust')
# 聚类的结果可视化，相同的类的样本点用同一种颜色表示
fig = plt.figure(figsize=(8, 5))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], X[:, 2], c=labels_2, cmap='prism')
plt.show()

4. 根据表 $5$ 所示的 User-Product rating 矩阵回答下列问题：

表 5    User-Product

• 使用余弦相似度计算与 User 2 最相似的三个 User。
  $$\begin{array}{r}\mathrm{sim}(1,2)=\frac{1\times 3+5\times 5+3\times 4}{\sqrt{35}\sqrt{50}}\approx 0.956\\ \mathrm{sim}(3,2)=\frac{1\times 3+1\times 5+1\times 4}{\sqrt{3}\sqrt{50}}\approx 0.980\\ \mathrm{sim}(4,2)=\frac{4\times 3+2\times 5+1\times 4}{\sqrt{21}\sqrt{50}}\approx 0.802\\ \mathrm{sim}(5,2)=\frac{2\times 3+2\times 5+4\times 4}{\sqrt{24}\sqrt{50}}\approx 0.924\end{array}$$
  显然，User 2 和 User 1、User 3、User 5 最相似。

• 使用与 User 2 最相似的三个 User 预测 User 2 的 Product 2。
  $$\begin{array}{rl}{\bar{r}}_{\mathrm{User}1}& =\frac{1}{4}(1+1+5+3)=\frac{5}{2}\\ {\bar{r}}_{\mathrm{User}2}& =\frac{1}{3}(3+5+3)=4\\ {\bar{r}}_{\mathrm{User}3}& =\frac{1}{4}(1+3+1+1)=\frac{3}{2}\\ {\bar{r}}_{\mathrm{User}5}& =\frac{1}{4}(2+2+2+4)=\frac{5}{2}\end{array}$$

  $$\begin{array}{rl}{r}_{\mathrm{User}2,\mathrm{Product}2}& ={\bar{r}}_{\mathrm{User}2}+\frac{\mathrm{sim}(1,2)(r_{\mathrm{User}1,\mathrm{Product}2}-{\bar{r}}_{\mathrm{User}1})+\mathrm{sim}(3,2)(r_{\mathrm{User}3,\mathrm{Product}2}-{\bar{r}}_{\mathrm{User}3})+\mathrm{sim}(5,2)(r_{\mathrm{User}5,\mathrm{Product}2}-{\bar{r}}_{\mathrm{User}5})}{\mathrm{sim}(1,2)+\mathrm{sim}(3,2)+\mathrm{sim}(5,2)}\\ & \approx 3.851\end{array}$$

Lab Part

Churn Management

churn_training.txt 文件包括 2000 条数据，churn_validation.txt 包括 1033 条数据。

• 采用决策树模型，设置 minimum records per child branch 为 40，pruning severity 为 70。

  

  图 7    决策树

• 采用神经网络模型，默认设置。

  

  图 8    神经网络

• 采用逻辑回归模型，默认设置。

  

  图 9    逻辑回归

• 对比不同参数设置下的决策树模型、神经网络模型和逻辑回归模型。

图 10    不同参数下决策树的效果

图 11    不同参数下决策树的效果(续)

图 12    不同参数下神经网络的效果

图 13    不同参数下逻辑回归的效果

Market Basket Analysis

采用 Apriori 算法，设置 Minimum antecedent support 为 7%，Minimum confidence 为 45%，Maximum number of antecedents 为 4。

• 确定产生的关联规则。

  全部关联规则如图 $14$ 所示。

  

  图 14    全部关联规则

• 分别按照提升度（lift）、支持度（support）和置信度（confidence）对关联规则进行排序，选择前五个非冗余的关联规则。

  前五个关联规则如表 $6$ 所示。

  order	lift	support	confidence
  1	tomato souce → pasta	pasta → milk	biscuits, pasta → milk
  2	coffee, milk → pasta	water → milk	water, pasta → milk
  3	biscuits, pasta → milk	biscuits → milk	juices → milk
  4	water, pasta → milk	brioches → milk	tomato souce → pasta
  5	juices → milk	yoghurt → milk	yoghurt → milk

  表 6    前五关联规则

  比较符合常识，比如买番茄酱的购物者很可能意大利面；买意大利面的购物者很可能因为口渴买牛奶；买水或者酸奶等饮品的购物者常常会一起买上牛奶。