正则化

过拟合问题

对于模型，如果一个模型对于数据的偏差很大，不能能够很好的拟合数据的分布，称为欠拟合，或者说这个算法具有高偏差的特性。
如果一个模型虽然可以穿过所有的数据点，但是其图像波动很大，其同样也不能描述数据的分布，（其数据的分布是无法被泛化处理），称为过拟合，或者说这个算法具有高方差的特性。 在这种情况下，模型的参数过于多（有可能代价函数正好为0），以至于可能没有足够多的数据去约束它来获得一个假设函数。
过拟合现象往往会发生在参数过多，而训练样本过少的情况。减小过拟合现象的思路有两种：

1. 尽可能的去掉那些影响因素很小的变量，这种方法虽然解决了过拟合问题，但是损失了精度。
2. 正则化（Regularization）

代价函数的正则化

对于代价函数：
$$mi{n}_{\theta }\frac{1}{2m}{\Sigma }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

增加两个惩罚项$1000{\theta }_3^2$和$1000{\theta }_4^2$，

代价函数变为：
$$mi{n}_{\theta }\frac{1}{2m}{\Sigma }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+1000{\theta }_3^2+1000{\theta }_4^2$$

如果要最小化这个函数，
那么${\theta }_3$与${\theta }_4$就要尽可能的接近0，
那么最后拟合的结果（假设函数）：
${\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2+{\theta }_3{x}^3+{\theta }_4{x}^4$，
仍然是一个类似的二次函数.
正则化的基本思想是如果所有的参数足够小，那么假设模型就更简单。

事实上，如果参数足够小，得到的函数就会越平滑，越简单，越不容易出现过拟合的问题

在实际上，对于大量的特征和大量的参数，
比如$x_1..x_{100}$和${\theta }_0...{\theta }_{100}$，
我们无法确定哪些参数是高阶项的参数，这个时候采用的方法就是对代价函数进行修改，使得所有的参数都尽可能的小。
修改后的代价函数方程：
$$J_{\theta }=\frac{1}{2m}[{\Sigma }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\lambda {\Sigma }_{j=1}^m{\theta }_j^2]$$
其中$\lambda {\Sigma }_{j=1}^m{\theta }_j^2$称为正则化项，它的目的是为了缩小每一项的参数。

${\theta }_0$是否正则化对结果影响不大
λ的作用是对“+”号的前后（前：更好的拟合训练集，后：假设函数足够简单）两项进行取舍平衡，称为正则化系数

如果λ被设置的太大，那么所有参数的惩罚力度被加大，这些参数最后的结构都将全部接近于0，那么最后的假设函数将会变成$h_{\theta }(x)={\theta }_0$,最终导致欠拟合。