矩阵代数与MATLAB实现(特征值、广义特征值、酋矩阵、)

矩阵代数的相关知识

一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

2、MATLAB计算

二、广义特征值与广义特征向量

1、广义特征值与广义特征向量

2、MATLAB计算

三、酋矩阵

1、酋矩阵

2、MATLAB计算

四、未完待续

总结

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一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

令 $\textbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n},\textbf{e}\in \mathbb{C}^{n}$ ,若标量 $\lambda$ 和非零向量 $\textbf{e}$ 满足方程

$\textbf{Ae}=\lambda \textbf{e},\textbf{e}\neq 0$

则称 $\lambda$ 是矩阵 $\textbf{A}$ 的特征值， $\textbf{e}$ 是与 $\lambda$ 对应的特征向量。特征值可能为零，但特征向量一定非零。特征值与特征向量总是成对出现，称 $(\lambda ,\textbf{e})$ 为矩阵 $\textbf{A}$ 的特征对。

2、MATLAB计算

%% 特征值与特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
[V,D]=eig(A) %V的每一列是特征向量，D的对角元素是特征值
A*V(:,1)
-1*V(:,1)

二、广义特征值与广义特征向量

1、广义特征值与广义特征向量

令 $\textbf{A},\textbf{B}\in \mathbb{C}^{n\times n},\textbf{e}\in \mathbb{C}^{n}$ ,若标量 $\lambda$ 和非零向量 $\textbf{e}$ 满足方程

$\textbf{Ae}=\lambda \textbf{B}\textbf{e},\textbf{e}\neq 0$

则称 $\lambda$ 是矩阵 $\textbf{A}$ 相对于矩阵 $\textbf{B}$ 的广义特征值， $\textbf{e}$ 是与 $\lambda$ 对应的广义特征向量。特别的，当矩阵 $\textbf{B}$ 为单位阵时，就成了普通的特征值问题。

2、MATLAB计算

%% 广义特征值与广义特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
B=[2 -1 1;0 3 -1;2 1 3];
[V,D]=eig(A,B) %V的每一列是广义特征向量，D的对角元素是广义特征值
A*V(:,1)
-1.3011*B*V(:,1)

三、酋矩阵

1、酋矩阵

若 $\textbf{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ,如果 $\textbf{AA}^{H}=\textbf{A}^{H}\textbf{A}=\textbf{I}$ ，其中'H'表示共轭转置， $\textbf{I}$ 表示单位矩阵，则称矩阵 $\textbf{A}$ 为酋矩阵。对于酋矩阵， $\textbf{A}^{H}=\textbf{A}^{-1}$ 。

2、MATLAB计算

%% 酋矩阵验证
A=[(-1-1i)/2 (-1-1i)/2;(1+1i)/2 (-1-1i)/2]
inv_A=inv(A)
A*A'

四、未完待续

总结

以上就是要讲的内容，本文介绍了矩阵代数的相关知识及其MATLAB的计算，希望对大家有所帮助。

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