【数据结构 —— 二叉树的链式结构实现】

数据结构 —— 二叉树的链式结构实现

  • 1.树的概念及其结构
    • 1.1.树概念
    • 1.2.树的结构
    • 1.3树的相关概念
    • 1.4.树的表示
    • 1.5. 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)
  • 2.二叉树的概念及其结构
    • 2.1二叉树的概念
    • 2.2.现实中的二叉树:
    • 2.3. 特殊的二叉树:
    • 2.4. 二叉树的性质
    • 2.5. 二叉树的存储结构
  • 3.二叉树的链式结构的实现
    • 3.1头文件的实现 —— (Tree.h)
    • 3.2.源文件的实现 —— (Tree.c)
    • 3.3.测试文件的实现 —— (test.c)
  • 4.实际数据测试运行展示

1.树的概念及其结构

1.1.树概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

1.有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
2.除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
3.因此,树是递归定义的。

1.2.树的结构

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注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
在这里插入图片描述

1.3树的相关概念

在这里插入图片描述

节点的度: 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点: 度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点: 度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点: 若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点: 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点: 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度: 一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次: 从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度: 树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点: 双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
节点的祖先: 从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙: 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林: 由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

1.4.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

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1.5. 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

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2.二叉树的概念及其结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

在这里插入图片描述

上图可以看出:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

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2.2.现实中的二叉树:

在这里插入图片描述

2.3. 特殊的二叉树:

1. 满二叉树: 一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2^k-1 ,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

在这里插入图片描述

2.4. 二叉树的性质

在这里插入图片描述
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2.5. 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。

1.顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。

在这里插入图片描述

2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

在这里插入图片描述

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}

3.二叉树的链式结构的实现

3.1头文件的实现 —— (Tree.h)

Tree.h
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;}TreeNode;//创建二叉树节点
TreeNode* BuyTreeNode(int x);
//自定义二叉树
TreeNode* CreateNode();
//前序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root);
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root);
//后序遍历
void BackOrder(TreeNode* root);
//二叉树节点个数
int TreeSize(TreeNode* root);
//二叉树叶子节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root);
//二叉树高度/(深度)
int TreeHeight(TreeNode* root);
//二叉树第k层节点个数
int TreeLevelK(TreeNode* root, int k);

3.2.源文件的实现 —— (Tree.c)

Tree.c
#include"Tree.h"//创建二叉树节点
TreeNode* BuyTreeNode(int x)
{TreeNode* root = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));root->data = x;root->left = NULL;root->right = NULL;return root;
}
//前序遍历
void PrevOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}
//中序遍历
void InOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}
//后序遍历
void BackOrder(TreeNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}BackOrder(root->left);BackOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}
//二叉树节点个数
int TreeSize(TreeNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left==NULL&&root->right==NULL)return 1;return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
//二叉树叶子节点个数
int TreeLeafSize(TreeNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left==NULL&&root->right==NULL)return 1;return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}
//二叉树高度/(深度)
int TreeHeight(TreeNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
//二叉树第k层节点个数
int TreeLevelK(TreeNode* root, int k)
{if (root == NULL)return 0;if (k==1)return 1;return TreeLevelK(root->left, k - 1) + TreeLevelK(root->right, k - 1);
}

3.3.测试文件的实现 —— (test.c)

test.c
#include"Tree.h"//自定义二叉树
TreeNode* CreateNode()
{TreeNode* node1 = BuyTreeNode(1);TreeNode* node2 = BuyTreeNode(2);TreeNode* node3 = BuyTreeNode(3);TreeNode* node4 = BuyTreeNode(4);TreeNode* node5 = BuyTreeNode(5);TreeNode* node6 = BuyTreeNode(6);TreeNode* node7 = BuyTreeNode(7);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;node5->right = node7;return node1;
}int main()
{TreeNode* root = CreateNode();printf("前序遍历:");PrevOrder(root);printf("\n");printf("中序遍历:");InOrder(root);printf("\n");printf("后序遍历:");BackOrder(root);printf("\n");printf("二叉树节点个数:");printf("%d\n", TreeSize(root));printf("二叉树叶子节点个数:");printf("%d\n", TreeLeafSize(root));printf("二叉树高度(深度):");printf("%d\n", TreeHeight(root));int k = 0;printf("请输入需要计算节点的层数:");scanf("%d", &k);printf("%d\n", TreeLevelK(root, k));
}

4.实际数据测试运行展示

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