易错知识点(数学一)

一、反常积分判敛

1、构造lim_{x\rightarrow\alpha} (x-\alpha)^pf(x)使其极限等于一个大于0的常数

1)前者通过:化等价无穷小 or 泰勒展开

2)若存在p>1使得等式成立,则收敛

考察形式:1、已知收敛,求f(x)中的幂次取值范围

主要思想:比较判敛法的极限形式

2、若上限为∞,则构造\frac{1}{x^{\alpha-\sigma}}\frac{f(x)}{x^{\sigma}},\sigma\rightarrow0,判断lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{\sigma}}的极限值,若为0则收敛,此时\alpha > 1

二、欧拉微分方程

y``(t)+(p-1)y`(t)+qy(t) = 0

(1)化特征方程(2)讨论解的个数(3)求C!!

三、曲率and曲率半径

K = \frac{|y``|}{(1+y`^{2})^{\frac{3}{2}}},R= \frac{1}{K}

四、场论初步

grad \textbf{u}= \frac{\partial{u}}{\partial{x}}i+ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}j

\frac{\partial{l}}{\partial{u}}|_M = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}cos\alpha+ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}cos\theta       

注1:角度通过,给定的方向l求,若题目说与梯度方向相同则取1 

注2:  可以和多元微分结合,f(x,y)沿任何方向的方向导数都存在,且方向导数大于0,则取极小值

div \textbf{u} = \frac{\partial{P}}{\partial{x}} + \frac{\partial{Q}}{\partial{y}} + \frac{\partial{R}}{\partial{z}}

rot \textbf{u} = \begin{bmatrix} i & j& k\\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ P&Q &R \end{bmatrix}

注:若问在某一点的xx,则直接代入数

五、线面积分

1、积分与路径无关的隐含条件

1)du = Pdx + Qdy

六、多元微分方程

1、已知lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{g(x,y)} =a,讨论(0,0)的极值问题

1)保号性,脱帽**

2)根据a*g(x,y)的正负可以判断,f(x,y)与f(0,0)的大小关系

e.g g(x,y)>0,a<0,则f(x,y)-f(0,0)<0

2、可微、偏导连续、偏导存在、导数存在、函数连续

a.偏导连续➡️可微➡️偏导存在

                             ➡️函数连续

b.偏导都存在不代表极限存在

1)判断偏导存在(可微?极限存在?)

1️⃣让x或y确定为某一个数,再讨论另一个自变量对函数的影响

        e.g lim_{x\rightarrow0}f(x,0)

2)已知某极限,形如lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}{\frac{\delta f-df}{\sqrt{x^2+y^2}}},若极限等于0,则可微

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