Diffusion Model: DDIM

本文相关内容只记录看论文过程中一些难点问题，内容间逻辑性不强，甚至有点混乱，因此只作为本人“备忘”，不建议其他人阅读。

DENOISING DIFFUSION IMPLICIT MODELS: https://arxiv.org/abs/2010.02502

前序知识 DDPM：https://blog.csdn.net/a40850273/article/details/134601881

DDIM

一、DDIM 没有独立的训练过程，可以直接复用 DDPM 的训练过程以及训练好的模型就可以直接采样。

具体原因是 DDPM $L_{simple}$ 的具体推导过程中是要求边缘分布服从 $q(x_t|x_0) =N(\sqrt{\alpha_t}x_0,(1-\alpha_t)I))$ 的高斯分布，而对于联合分布 $q(x_{1:T}|x_0)$ 没有具体要求。虽然 DDPM 中假定了扩散过程服从马尔科夫特性，但是即使不满足依然可以使用 DDPM 的训练过程进行求解。因此 DDIM 就设计了一个不服从马尔科夫特性的扩散过程，从而加速采样。

二、非马尔科夫扩散过程设计

具体设计如下，只要满足如下定义，边缘分布就满足 $q(x_t|x_0) =N(\sqrt{\alpha_t}x_0,(1-\alpha_t)I))$ 。因此，就可以使用如下非马尔科夫分布对反向扩散过程进行采样。DDIM 的分布与 DDPM 的分布之间的差别主要是将 $\sigma_t^2$ 引入的均值部分，如果 $\sigma_t^2$ 与 DDPM 中的 $\tilde{\beta}_{t}$ 相同时，那 DDIM 将退化为 DDPM。

具体证明过程：

$p(x)=N(x|\mu ,\Lambda ^{-1})$ 且 $p(y|x)=N(y|Ax+b,L^{-1})$ ，则 $p(y)=N(y|A\mu+b,L^{-1}+A\Lambda^{-1}A^T)$ —— Bishop (2006) (2.115)

三、DDIM 采样过程

二中给出了逆向扩散过程概率分布，不过具体进行采样时，由于 $x_0$ 未知，因此需要先基于 $x_T$ 对 $x_0$ 进行估计。

然后将 $f^t_{\theta}(x_t)$ 作为 $x_0$ 的估计代入二中的逆向扩散分布中得到具体的递归采样公式。

进一步，可以设置 $\sigma_t$ 为零，那么整个反向过程中将不存在任何随机性，变成一个确定性过程。对应最终生成的样本由初始 $x_T$ 的随机高斯采样结果直接确定， $x_T$ 的差异最终导致生成样本的多样性。

# https://github.com/CompVis/stable-diffusion/blob/main/ldm/models/diffusion/ddim.py L165
# 以下采样过程涉及条件生成内容，核心代码计算就是前面的公式，为标注 core code 的部分
@torch.no_grad()
def p_sample_ddim(self, x, c, t, index, repeat_noise=False, use_original_steps=False, quantize_denoised=False,temperature=1., noise_dropout=0., score_corrector=None, corrector_kwargs=None,unconditional_guidance_scale=1., unconditional_conditioning=None):b, *_, device = *x.shape, x.deviceif unconditional_conditioning is None or unconditional_guidance_scale == 1.:e_t = self.model.apply_model(x, t, c)else:x_in = torch.cat([x] * 2)t_in = torch.cat([t] * 2)c_in = torch.cat([unconditional_conditioning, c])e_t_uncond, e_t = self.model.apply_model(x_in, t_in, c_in).chunk(2)e_t = e_t_uncond + unconditional_guidance_scale * (e_t - e_t_uncond)if score_corrector is not None:assert self.model.parameterization == "eps"e_t = score_corrector.modify_score(self.model, e_t, x, t, c, **corrector_kwargs)alphas = self.model.alphas_cumprod if use_original_steps else self.ddim_alphasalphas_prev = self.model.alphas_cumprod_prev if use_original_steps else self.ddim_alphas_prevsqrt_one_minus_alphas = self.model.sqrt_one_minus_alphas_cumprod if use_original_steps else self.ddim_sqrt_one_minus_alphassigmas = self.model.ddim_sigmas_for_original_num_steps if use_original_steps else self.ddim_sigmas# select parameters corresponding to the currently considered timestepa_t = torch.full((b, 1, 1, 1), alphas[index], device=device)a_prev = torch.full((b, 1, 1, 1), alphas_prev[index], device=device)sigma_t = torch.full((b, 1, 1, 1), sigmas[index], device=device)sqrt_one_minus_at = torch.full((b, 1, 1, 1), sqrt_one_minus_alphas[index],device=device)# >>>>>>>>>>>>>>>>> core code >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>># current prediction for x_0pred_x0 = (x - sqrt_one_minus_at * e_t) / a_t.sqrt()if quantize_denoised:pred_x0, _, *_ = self.model.first_stage_model.quantize(pred_x0)# direction pointing to x_tdir_xt = (1. - a_prev - sigma_t**2).sqrt() * e_tnoise = sigma_t * noise_like(x.shape, device, repeat_noise) * temperatureif noise_dropout > 0.:noise = torch.nn.functional.dropout(noise, p=noise_dropout)x_prev = a_prev.sqrt() * pred_x0 + dir_xt + noisereturn x_prev, pred_x0