AM@方向导数概念和定理

文章目录

    • abstract
    • 方向导数
      • 二元函数方向导数
      • 偏导数是方向导数的特例
        • 偏导数存在一定有对应的方向导数存在
        • 方向导数存在不一定有偏导数存在
      • 三元函数方向导数
    • 方向导数存在定理和计算公式
      • 证明
        • 二元函数
        • 三元函数

abstract

  • 方向导数的概念,定理和计算公式
  • 方向导数是对偏导的补充,其本质上是一个极限问题,而其计算可以转化为偏导的计算和方向余弦的计算,表现为偏导数构成的向量和方向余弦构成的向量作数量积

方向导数

  • 偏导数反映的是函数(自变量)沿着坐标轴方向变换率

  • 为研究多元函数在某一点P沿任意方向(某个方向)的变化率,偏导数无法满足要求,因此引入多元函数的方向导数的概念

    • 例如,设 f ( P ) f(P) f(P)表示某物体内点P的温度,那么这个物体的热传导就依赖于温度沿某些方向的变化率
    • 预测某地的风向和风力,就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率

二元函数方向导数

  • l l l x O y xOy xOy平面上以 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)为始点的一条射线,设其倾斜角为 α ( α ∈ [ 0 , π ) ) \alpha(\alpha\in[0,\pi)) α(α[0,π)),则 e l \bold{e_{l}} el= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (\cos\alpha,\cos\beta) (cosα,cosβ)是与 l l l同方向的单位向量
    • α + β = π 2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2} α+β=2π, cos ⁡ β = sin ⁡ α \cos\beta=\sin\alpha cosβ=sinα, cos ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 β \cos^2\alpha+\cos^2\beta cos2α+cos2β= cos ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α = 1 \cos^{2}\alpha+\sin^2\alpha=1 cos2α+sin2α=1
  • 由直线的参数方程公式,射线所在直线的参数方程为 x = x 0 + t cos ⁡ α x=x_0+t\cos\alpha x=x0+tcosα; y = y 0 + t cos ⁡ β y=y_0+t\cos\beta y=y0+tcosβ,其中 t t t为任意常数;而此处要求射线的方程,需要限制 t ⩾ 0 t\geqslant{0} t0
  • 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 P_{0} P0的某个邻域 U ( P 0 ) U(P_{0}) U(P0)内有定义, P ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) P(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta) P(x0+tcosα,y0+tcosβ) l l l上的另一点,切 P ∈ U ( P 0 ) P\in{U}(P_{0}) PU(P0)
    • 若记函数增量 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0) f(x0+tcosα,y0+tcosβ)f(x0,y0); P → P 0 P\to{P_0} PP0的距离 ∣ P P 0 ∣ = t |PP_{0}|=t PP0=t
    • lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t0+limtΔz极限存在,则称该极限为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)沿方向 l l l方向导数,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)
    • ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)= lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t0+limtΔz(1)
  • 由方向导数的定义可知,式(1)就是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_{0} P0处沿着方向 l l l变化率(射线 l l l方向的变化率)
  • 方向导数本质是求极限

偏导数是方向导数的特例

偏导数存在一定有对应的方向导数存在
  • 若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_0 P0的偏导数存在,沿 x x x轴正方向同向的一个单位向量为 e l \bold{e}_{l} el= i \bold{i} i= ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0),则 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0)
    • 此时 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + t , y 0 + 0 t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t,y_0+0t)-f(x_0,y_0) f(x0+t,y0+0t)f(x0,y0)= f ( x 0 + t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0) f(x0+t,y0)f(x0,y0)
  • 同理,若 e l \bold{e}_{l} el= j = ( 0 , 1 ) \bold{j}=(0,1) j=(0,1),则 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)= f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}(x_0,y_0) fy(x0,y0)
    • 此时 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + 0 t , y 0 + t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+0t,y_0+t)-f(x_0,y_0) f(x0+0t,y0+t)f(x0,y0)= f ( x 0 , y 0 + t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0) f(x0,y0+t)f(x0,y0)
方向导数存在不一定有偏导数存在
  • e l = i \bold{e}_{l}=\bold{i} el=i, ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)存在,未必有 ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(x_0,y_0)} xf(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0)存在
    • 例如: z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2 在点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)处沿 l = i l=\bold{i} l=i的方向的方向导数 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} lf(0,0)=1
      • 由方向导数的定义可以计算方向导数,但是这很不方便,后面介绍使用方向导数存在定理和计算公式
      • 这里先用定义计算: Δ z = f ( x 0 + t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta_{z}=f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+t,y0)f(x0,y0)= f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) f(t,0)-f(0,0) f(t,0)f(0,0)= ∣ t ∣ − 0 |t|-0 t0= t t t, ( t > 0 ) (t>0) (t>0)
      • 从而 lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t0+limtΔz=1,即 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} lf(0,0)=1
    • ∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(0,0)} xf(0,0)不存在(因为 ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} xf= x x 2 + y 2 \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} x2+y2 x,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处没有定义)
  • 求函数 z = x e 2 y z=xe^{2y} z=xe2y在点 P ( 1 , 0 ) P(1,0) P(1,0)处,沿从点P到Q(2,-1)的方向的方向导数值

    • 方向 l l l,即 P Q → = ( 2 − 1 , − 1 − 0 ) = ( 1 , − 1 ) \overrightarrow{PQ}=(2-1,-1-0)=(1,-1) PQ =(21,10)=(1,1)的方向

    • 单位向量 l 0 = 1 1 2 + ( − 1 ) 2 ( 1 , − 1 ) = ( 1 2 , − 1 2 ) l_0=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}(1,-1)=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}) l0=12+(1)2 1(1,1)=(2 1,2 1)

      • cos ⁡ α = 1 2 \cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}} cosα=2 1
      • cos ⁡ β = − 1 2 \cos{\beta}=-\frac{1}{\sqrt{2}} cosβ=2 1
    • ∂ z ∂ x ∣ P = e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 1 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right|_P=e^{2y}|_{(1,0)}=1 xz P=e2y(1,0)=1; ∂ z ∂ y ∣ P = 2 x e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 2 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P=2xe^{2y}|_{(1,0)}=2 yz P=2xe2y(1,0)=2

    • ∂ z ∂ l \frac{\partial{z}}{\partial{l}} lz= ∂ z ∂ x ∣ P cos ⁡ α + ∂ z ∂ y ∣ P cos ⁡ β \left.\frac{\partial{z}} {\partial{x}}\right|_P\cos{\alpha} +\left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P\cos{\beta} xz Pcosα+yz Pcosβ= 1 × 1 2 + 2 × − 1 2 = − 2 2 1\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}+2\times{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} 1×2 1+2×2 1=22

三元函数方向导数

  • 对于三元函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)来说,它在空间一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)沿某 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l的方向 e l \bold{e}_{l} el= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)= lim ⁡ t → 0 + Δ u t \lim\limits_{t\to{0^{+}}} \frac{\Delta{u}}{t} t0+limtΔu(1)

    • 其中 Δ u \Delta{u} Δu= f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β , z 0 + t cos ⁡ γ ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0) f(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)f(x0,y0,z0)
  • 若式(1)极限存在,则称该极限为 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 P 0 P_{0} P0沿方向 l l l方向导数,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} lf(x0,y0,z0)

  • 设多元一次函数 f ( x , y , z ) = a x + b y + c z f(x,y,z)=ax+by+cz f(x,y,z)=ax+by+cz,向量 l l l的方向余弦为 cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma} cosα,cosβ,cosγ
  • 设点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z), P ′ ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) P'(x+\Delta{x},y+\Delta{y},z+\Delta{z}) P(x+Δx,y+Δy,z+Δz)都是 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)上的点
    • Δ f \Delta{f} Δf= f ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) f(x+\Delta{x},y+\Delta{y},z+\Delta{z}) f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)- f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)= a ( x + Δ x ) + b ( y + Δ y ) + c ( z + Δ z ) a(x+\Delta{x})+b(y+\Delta{y})+c(z+\Delta{z}) a(x+Δx)+b(y+Δy)+c(z+Δz)- ( a x + b y + c z ) (ax+by+cz) (ax+by+cz)= a Δ x + b Δ y + c Δ z a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z} aΔx+bΔy+cΔz
    • f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)沿 l l l方向的平均变化率为 Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP'|} PPΔf= 1 ∣ P P ′ ∣ ( a Δ x + b Δ y + c Δ z ) \frac{1}{|PP'|}(a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z}) PP1(aΔx+bΔy+cΔz)
      • ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta{x},\Delta{y},\Delta{z}) (Δx,Δy,Δz)= ( ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ α , ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ β , ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ γ ) (|PP'|\cos{\alpha},|PP'|\cos{\beta},|PP'|\cos{\gamma}) (PPcosα,PPcosβ,PPcosγ)

      • a Δ x + b Δ y + c Δ z a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z} aΔx+bΔy+cΔz= ( a ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ α + b ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ β + c ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ γ ) (a|PP'|\cos{\alpha}+b|PP'|\cos{\beta}+c|PP'|\cos{\gamma}) (aPPcosα+bPPcosβ+cPPcosγ)

      • Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP'|} PPΔf= a cos ⁡ α + b cos ⁡ β + c cos ⁡ γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ;

      • t = ∣ P P ′ ∣ t=|PP'| t=PP, lim ⁡ t → 0 Δ f t \lim\limits_{t\to{0}}{\frac{\Delta{f}}{t}} t0limtΔf= a cos ⁡ α + b cos ⁡ β + c cos ⁡ γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ,所以 ∂ f ∂ l \frac{\partial{f}}{\partial{l}} lf= a cos ⁡ α + b cos ⁡ β + c cos ⁡ γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ(1)

    • 这表明,一次函数沿 l l l方向的方向导数不随点的位置而改变
    • 但是沿不同方向的方向导数一般不同(方向余弦发生改变)

方向导数存在定理和计算公式

  • 若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P{(x_0,y_0,z_0}) P(x0,y0,z0)可微分,那么函数在该点沿任意方向 l l l的方向导数存在,且 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} lf(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β f_{x}(x_0,y_{0})\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ(0)
    • 其中 cos ⁡ α , cos ⁡ β \cos\alpha,\cos\beta cosα,cosβ是方向 l l l方向余弦;直线 l l l在坐标面 x O y xOy xOy内,所以若要按空间直线处理, cos ⁡ γ \cos\gamma cosγ=0
  • 类似的,若函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)为微分,则函数在该点验证方向 e l \bold{e}_{l} el= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} lf(x0,y0,z0)= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos ⁡ γ f_{x}(x_0,y_0)\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta+f_{z}(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ

证明

二元函数
  • 由假设, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)可微分,所以 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) f(x0+Δx,y0+Δy)- f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}(x_0,y_0)\Delta{x} fx(x0,y0)Δx+ f y ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{y}(x_0,y_0)\Delta{y} fy(x0,y0)Δy+ o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)(1);其中 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 ,但点 ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) (x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) (x0+Δx,y0+Δy)在以 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l上时,自变量 x , y x,y x,y的增量之间存在确定关系,应有 Δ x = t cos ⁡ α \Delta{x}=t\cos\alpha Δx=tcosα, Δ y = t cos ⁡ β \Delta{y}=t\cos\beta Δy=tcosβ, ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = t \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2}=t ρ=(Δx)2+(Δy)2 =t
    • 式(1)改写为 Δ z \Delta{z} Δz= f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + o ( t ) f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alpha+o(t) fx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosα+o(t)
  • 所以 lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}\frac{\Delta{z}}{t} t0+limtΔz= lim ⁡ t → 0 + f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + o ( t ) t \lim\limits_{t\to{0^{+}}} \frac{f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alpha+o(t)}{t} t0+limtfx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosα+o(t)= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β f_{x}(x_0,y_0)\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ(2)
  • 定理和计算公式(0)得证
三元函数
  • P ′ ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y , z 0 + Δ z ) P'(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y},z_0+\Delta{z}) P(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz) l l l上的点,则 l l l的方向余弦可以表示为:

    • cos ⁡ α = Δ x ∣ P P ′ ∣ \cos{\alpha}=\frac{\Delta{x}}{|PP'|} cosα=PPΔx
    • cos ⁡ β = Δ y ∣ P P ′ ∣ \cos{\beta}=\frac{\Delta{y}}{|PP'|} cosβ=PPΔy
    • cos ⁡ γ = Δ z ∣ P P ′ ∣ \cos{\gamma}=\frac{\Delta{z}}{|PP'|} cosγ=PPΔz
    • ∣ P P ′ ∣ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 |PP'|=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2+(\Delta{z})^2} PP=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2
  • 由假设的 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可微,由可微的定义:

    • f ( P ′ ) − f ( P ) = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 ) = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ∣ P P ′ ∣ ) \begin{aligned} f(P')-f(P)=&f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z} \\&+o(\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2+(\Delta{z})^2}) \\ =&f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z}+o(|PP'|) \end{aligned} f(P)f(P)==fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2 )fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o(PP)

    • 对两边同时除以 ∣ P P ′ ∣ |PP'| PP

      • f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ = f x ( P 0 ) cos ⁡ α + f y ( P 0 ) cos ⁡ β + f z ( P 0 ) cos ⁡ γ + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ \frac{f(P')-f(P)}{|PP'|} =\frac{f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z}+o(|PP'|)}{|PP'|} \\=f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma}+\frac{o(|PP'|)}{|PP'|} PPf(P)f(P)=PPfx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o(PP)=fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ+PPo(PP)
    • 对两边取极限:

      • ∂ f ∂ l = lim ⁡ P ′ → P 0 f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ = lim ⁡ P ′ → P 0 ( f x ( P 0 ) cos ⁡ α + f y ( P 0 ) cos ⁡ β + f z ( P 0 ) cos ⁡ γ + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ ) = f x ( P 0 ) cos ⁡ α + f y ( P 0 ) cos ⁡ β + f z ( P 0 ) cos ⁡ γ \begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{l}} =&\lim_{P'\to{P_0}}{\frac{f(P')-f(P)}{|PP'|}} \\=&\lim_{P'\to{P_0}} \left(f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma}+\frac{o(|PP'|)}{|PP'|} \right) \\=&f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma} \end{aligned} lf===PP0limPPf(P)f(P)PP0lim(fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ+PPo(PP))fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/139267.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

用volta管理不同项目node版本

1 什么是volta volta是一个node.js的版本管理工具,你的电脑上安装了很多个node版本,volta可以让你在不同的项目中使用不同版本的node.js,并且可以切换node.js版本 Volta会自动将安装的Node.js版本与该项目绑定,使得您在该项目中执行 node、np…

Flutter 实战:构建跨平台应用

文章目录 一、简介二、开发环境搭建三、实战案例:开发一个简单的天气应用1. 项目创建2. 界面设计3. 数据获取4. 实现数据获取和处理5. 界面展示6. 添加动态效果和交互7. 添加网络错误处理8. 添加刷新功能9. 添加定位功能10. 添加通知功能11. 添加数据持久化功能 《F…

Springboot+vue的企业资产管理系统(有报告)。Javaee项目,springboot vue前后端分离项目。

演示视频: Springbootvue的企业资产管理系统(有报告)。Javaee项目,springboot vue前后端分离项目。 项目介绍: 本文设计了一个基于Springbootvue的前后端分离的企业资产管理系统,采用M(model&a…

Python中68个内置函数的使用与归类

前言 在Python解释器中内置的、可以直接使用的函数。这些函数不需要额外的导入或安装,可以直接在Python代码中调用。Python内置函数包括了很多常用的功能,比如对数据类型的操作、数学运算、字符串处理、文件操作等。一些常见的内置函数包括print()、len…

python实现全向轮EKF_SLAM

python实现全向轮EKF_SLAM 代码地址及效果运动预测观测修正参考算法 代码地址及效果 代码地址 运动预测 简化控制量 u t u_t ut​ 分别定义为 v x Δ t v_x \Delta t vx​Δt, v y Δ t v_y \Delta t vy​Δt,和 ω z Δ t \omega_z \Delta t ωz…

Python中如何判断两个对象的内存地址是否一致?

目录 一、引言 二、Python的内存管理 三、对象的比较 四、使用id函数判断内存地址 五、总结 一、引言 在Python中,我们经常需要比较两个对象是否是同一个对象,或者说它们是否在内存中占据同一位置。在理解这个问题之前,我们需要了解Pyt…

asp.net 在线音乐网站系统VS开发sqlserver数据库web结构c#编程Microsoft Visual Studio

一、源码特点 asp.net 在线音乐网站系统是一套完善的web设计管理系统,系统具有完整的源代码和数据库,系统主要采用B/S模式开发。开发环境为vs2010,数据库为sqlserver2008,使用c#语言 开发 asp.net 在线音乐网站系统1 应用…

C_5练习题

一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分。在每小题给出的四个备选项中,选出一个正确的答案,并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上。) 下列叙述中错误的是()。 A.计算机不能直接执行用C语言编写的源程序 B.C程序经C编译程序编译后,生成扩展名为obj的文件是一个…

EXCEL中将UTC时间戳转为日期格式(精确到秒)

UTC时间戳的格式通常是一个整数,表示从1970年1月1日00:00:00 UTC到当前时间的总秒数。它可以以秒或毫秒为单位表示。例如,如果当前时间是2023年3月17日 12:34:56 UTC,则对应的UTC时间戳为1679839496(以秒为单位)或1679…

【树与二叉树的转换,哈夫曼树的基本概念】

文章目录 树与二叉树的转换将二叉树转化为树森林与二叉树的转化(二叉树与多棵树之间的关系)二叉树转换为森林森林的先序遍历1)先序遍历2)后序遍历 哈夫曼树的基本概念森林转换成二叉树(二叉树与多棵树的关系&#xff0…

深度学习1【吴恩达】

视频链接:1.5 关于这门课_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1FT4y1E74V?p5&spm_id_frompageDriver&vd_source3b6cdacf9e8cb3171856fe2c07acf498 视频中吴恩达老师所有的话语收录: 机器学习初学者-AI入门的宝典 (ai-start.c…

微信小程序刷新当前页面(亲测有效)

有个小功能点,需要刷新当前页面,搜索了很多地方,发现很多搜索的结果其实并不准确。 有的调用的是this.onLoad方法,有的是调用的是this.onReady方法。其实都不能满足我的要求,其实我就只是想刷新下当前页面,…

for each和for of的区别

forEach方法: forEach是Array对象的方法,可以直接使用。forEach会对数组中的每个元素执行指定的回调函数,但无法在回调函数中使用break或return来中止循环。回调函数接受三个参数:当前遍历的元素值、当前遍历的索引和整个数组本身…

CSDN写博文的128天

起因 为什么要写博文? 写博文是因为当我还是编程小白时,我那会啥也不懂,不懂函数调用,不懂指针,更不懂结构体,别更说Linux,平时不会也没有可以问的人,也幸好有CSDN,遇到…

基于python+TensorFlow+Django卷积网络算法+深度学习模型+蔬菜识别系统

欢迎大家点赞、收藏、关注、评论啦 ,由于篇幅有限,只展示了部分核心代码。 文章目录 一项目简介 二、功能三、系统四. 总结 一项目简介 介绍了TensorFlow在图像识别分类中的应用,并通过相关代码进行了讲解。通过TensorFlow提供的工具和库&am…

电脑小Tip---外接键盘F1-F12快捷键与笔记本不同步

当笔记本外接一款非常好用的静音键盘后,会出现一些问题。例如:外接键盘F1-F12与笔记本不同步。具体一个例子就是,在运行matlab程序时,需要点编辑器—运行,这样就很麻烦,直接运行的快捷键是笔记本键盘上的F5…

SpringGateWay——yml文件配置详解

Spring Gateway 是一个基于 Spring 框架的网关服务,主要作用是将流量路由到不同的微服务中。它的灵活性和可扩展性使它成为构建云原生应用架构的不二之选。 下面是 Spring Gateway 的 yml 文件配置参数详解: spring:cloud: gateway: routes: # 路由相…

SQL SELECT INTO 语句

SQL SELECT INTO 语句 使用 SQL,您可以将信息从一个表中复制到另一个表中。 SELECT INTO 语句从一个表中复制数据,然后将数据插入到另一个新表中。 SQL SELECT INTO 语法 我们可以把所有的列都复制到新表中: SELECT * INTO newtable [IN ex…

使用大型语言模型进行文本摘要

路易斯费尔南多托雷斯 📝 Text Summarization with Large Language Models。通过单击链接,您将能够逐步阅读完整的过程,并与图进行交互。谢谢你! 一、介绍 2022 年 11 月 30 日,标志着机器学习历史上的重要篇章。就在这…

uni.getLocation() 微信小程序 线上获取失败

开发版,体验版,用此方法都可以正确获取定位,但是在小程序的线上,总是获取失败 参考:uni-app微信小程序uni.getLocation获取位置;authorize scope.userLocation需要在app.json中声明permission;小程序用户拒绝授权后重新授权-CSDN博客 uniapp 中的 uni.…