数据结构【DS】B树

m阶B树的核心特性:

Q:根节点的子树数范围是多少?关键字数的范围是多少?

A:根节点的子树数∈[2, m],关键字数∈[1, m-1]。

Q:其他结点的子树数范围是多少?关键字数范围是多少?

Q:对任一结点,其所有子树高度有什么特点?

  • 都相同

Q:关键字的值的大小关系是什么样的?

  • 关键字的值:类比二叉查找树:左<中<右

 

Q:含 n 个关键字的 m 阶 B 树,最小高度、最大高度是多少?

  • 最小高度:
  • 最大高度:
    • 让各层的分叉尽可能的少

Q:对于高度为 2 的 5 阶 B 树所含关键字的个数最少是多少?

A:根结点只有达到 5 个关键字时才能产生分裂, 成为高度为 2 的 B 树 ,因此高度为 2 的 5 阶 B 树所含关键字的个数最少是 5 。

B树的插入和删除

插入

  • 通过“查找”确定插入位置(一定是在终端结点插入)
  • 若插入后结点关键字个数未超过上限,则无需做其他处理
  • 若插入后关键字个数超过上限,则需要将当前结点的中间元素放到父节点中,当前结点分裂为两个部分;
  • 该操作会导致父节点关键字个数+1,若父节点关键字个数也超过了上限,则需要再向上分裂;根节点的分裂会导致B树高度+1。

Q:B树裂开的时候从哪开始裂?

删除

  • 非终端结
    • 用其直接前驱或直接后继替代其位置,转化为对“终端结点”的删除点关键字.
    • 直接前驱:当前关键字左边指针所指子树中最右下的元素
    • 直接后继:当前关键字右边指针所指子树中最左下的元素
    • 删除后结点关键字个数未低于下限,无需任何处理
  • 终端结点
    • 右兄弟够借,则用当前结点的后继、后继的后继依次顶替空缺
    • 左兄弟够借,则用当前结点的前驱、前驱的前驱依次顶替空缺
    • 左(右)兄弟都不够借,则需要与父结点内的关键字、左(右)兄弟进行合并。合并后导致父节点关键字数量-1,可能需要继续合并。

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