【贪心算法】单源最短路径Python实现

文章目录

    • @[toc]
      • 问题描述
      • `Dijkstra`算法
      • `Dijkstra`算法的正确性
        • 贪心选择性质
        • 最优子结构性质
      • `Dijkstra`算法应用示例
      • `Python`实现
      • 时间复杂性

问题描述

  • 给定一个带权有向图 G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E),其中每条边的权是非负实数,给定 V V V中的一个顶点,称为源
  • 计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度

Dijkstra算法

  • Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法
  • 其基本思想是,设置顶点集合 S S S,并不断地做贪心选择来扩充这个集合,一个顶点属于集合 S S S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知
  • 初始时, S S S中仅含有源,设 u u u G G G的某一个顶点,把从源到 u u u且中间只经过 S S S中顶点的路称为从源到 u u u的特殊路径,并用数组 d i s t dist dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度,用数组 p a r e n t [ i ] parent[i] parent[i]记录从源到顶点 i i i的最短路径上 i i i的前一个顶点
  • Dijkstra算法每次从 V − S V - S VS中取出具有最短特殊路长度的顶点 u u u,将 u u u添加到 S S S中,同时对列表 d i s t dist dist p a r e n t parent parent做必要的修改,当 d i s t [ u ] + g r a p h [ u ] [ i ] < d i s t [ i ] dist[u] + graph[u][i] < dist[i] dist[u]+graph[u][i]<dist[i]时,置 d i s t [ i ] = d i s t [ u ] + g r a p h [ u ] [ i ] dist[i] = dist[u] + graph[u][i] dist[i]=dist[u]+graph[u][i],置 p a r e n t [ i ] = u parent[i] = u parent[i]=u
  • 一旦 S S S包含了所有 V V V中顶点, d i s t dist dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度

Dijkstra算法的正确性

贪心选择性质
  • Dijkstra算法所做的贪心选择是从 V − S V - S VS中选择具有最短特殊路径的顶点 u u u,从而确定从源到 u u u的最短路径长度 d i s t [ u ] dist[u] dist[u],从源到 u u u没有更短的其他路径
  • 事实上,如果存在一条从源到 u u u且长度比 d i s t [ u ] dist[u] dist[u]更短的路,设这条路初次走出 S S S之外到达的顶点为 x ∈ V − S x \in V - S xVS,然后徘徊于 S S S内外若干次,最后离开 S S S到达 u u u

1

  • 在这条路径上,分别记 d ( v , x ) d(v , x) d(v,x) d ( x , u ) d(x , u) d(x,u) d ( v , u ) d(v , u) d(v,u)为顶点 v v v到顶点 x x x、顶点 x x x到顶点 u u u和顶点 v v v到顶点 u u u的路长,那么 d i s t [ x ] ≤ d ( v , x ) dist[x] \leq d(v , x) dist[x]d(v,x) d ( v , x ) + d ( x , u ) = d ( v , u ) < d i s t [ u ] d(v , x) + d(x , u) = d(v , u) < dist[u] d(v,x)+d(x,u)=d(v,u)<dist[u],利用边权的非负性,可知 d ( x , u ) ≥ 0 d(x , u) \geq 0 d(x,u)0,从而推得 d i s t [ x ] < d i s t [ u ] dist[x] < dist[u] dist[x]<dist[u],此为矛盾
  • 这就证明了 d i s t [ u ] dist[u] dist[u]是从源到顶点 u u u的最短路径长度
最优子结构性质
  • 将添加 u u u之前的 S S S称为 S ′ S^{'} S
  • 当添加了 u u u后,可能出现一条到顶点 i i i的新的特殊路

2

  • 如果这条新特殊路是经过 S ′ S^{'} S到达顶点 u u u,然后从 u u u经一条边直接到达顶点 i i i,则这种路的最短的长度是 d i s t [ u ] + c [ u ] [ i ] dist[u] + c[u][i] dist[u]+c[u][i],此时,如果 d i s t [ u ] + c [ u ] [ i ] < d i s t [ i ] dist[u] + c[u][i] < dist[i] dist[u]+c[u][i]<dist[i],则算法中用 d i s t [ u ] + c [ u ] [ i ] dist[u] + c[u][i] dist[u]+c[u][i]作为 d i s t [ i ] dist[i] dist[i]的新值
  • 如果这条新特殊路经过 S ′ S^{'} S到达 u u u后,不是从 u u u经一条边直接到达 i i i,而是回到 S ′ S^{'} S中某个顶点 x x x,最后才到达顶点 i i i,那么由于 x x x S ′ S^{'} S中,因此 x x x u u u先加入 S S S,故从源到 x x x的路的长度比从源到 u u u,再从 u u u x x x的路的长度小,于是当前 d i s t [ i ] dist[i] dist[i]的值小于这条新特殊路的长度,因此,在算法中不必考虑这种路
  • 由此可知,不论算法中 d i s t [ u ] dist[u] dist[u]的值是否有变化,它总是关于当前顶点集 S S S到顶点 u u u的最短特殊路径长度

Dijkstra算法应用示例

  • 对下图中的有向图,应用Dijkstra算法计算从源顶点 1 1 1到其他顶点间最短路径的过程如下表所示

3

迭代 S S S u u u d i s t [ 2 ] dist[2] dist[2] d i s t [ 3 ] dist[3] dist[3] d i s t [ 4 ] dist[4] dist[4] d i s t [ 5 ] dist[5] dist[5]
初始 { 1 } \set{1} {1} − - 10 10 10 m a x i n t maxint maxint 30 30 30 100 100 100
1 1 1 { 1 , 2 } \set{1 , 2} {1,2} 2 2 2 10 10 10 60 60 60 30 30 30 100 100 100
2 2 2 { 1 , 2 , 3 } \set{1 , 2 , 3} {1,2,3} 4 4 4 10 10 10 50 50 50 30 30 30 90 90 90
3 3 3 { 1 , 2 , 4 , 3 } \set{1 , 2 , 4 , 3} {1,2,4,3} 3 3 3 10 10 10 50 50 50 30 30 30 60 60 60
4 4 4 { 1 , 2 , 4 , 3 , 5 } \set{1 , 2 , 4 , 3 , 5} {1,2,4,3,5} 5 5 5 10 10 10 50 50 50 30 30 30 60 60 60

Python实现

import sysclass Graph:def __init__(self, vertices):self.V = verticesself.graph = []def printSolution(self, dist, parent):for v in range(self.V):path = []curr = vwhile curr != -1:path.append(curr)curr = parent[curr]path.reverse()print((v, dist[v], path))def minDistance(self, dist, sptSet):min_value = sys.maxsizemin_index = -1for v in range(self.V):if not sptSet[v] and dist[v] < min_value:min_value = dist[v]min_index = vreturn min_indexdef dijkstra(self, src):dist = [sys.maxsize] * self.Vdist[src] = 0sptSet = [False] * self.Vparent = [-1] * self.Vfor _ in range(self.V):u = self.minDistance(dist, sptSet)sptSet[u] = Truefor v in range(self.V):if not sptSet[v] and self.graph[u][v] != 0 and 0 < dist[u] + self.graph[u][v] < dist[v]:dist[v] = dist[u] + self.graph[u][v]parent[v] = uself.printSolution(dist, parent)g = Graph(9)g.graph = [[0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0],[4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0],[0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2],[0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0],[0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6],[8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7],[0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0]]src = 0print('-' * 40)
print(f'(顶点, 以顶点 {src} 为源的最短路径长度, 最短路径)')
print('-' * 40)g.dijkstra(src)print('-' * 40)
----------------------------------------
(顶点, 以顶点 0 为源的最短路径长度, 最短路径)
----------------------------------------
(0, 0, [0])
(1, 4, [0, 1])
(2, 12, [0, 1, 2])
(3, 19, [0, 1, 2, 3])
(4, 21, [0, 7, 6, 5, 4])
(5, 11, [0, 7, 6, 5])
(6, 9, [0, 7, 6])
(7, 8, [0, 7])
(8, 14, [0, 1, 2, 8])
----------------------------------------

时间复杂性

  • 对于一个具有 n n n个顶点的带权有向图,Dijkstra算法进行二重循环,需要 O ( n 2 ) O(n^{2}) O(n2)时间

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