推导虚功方程的过程
弹性力学的平衡方程
在张量形式中，平衡方程为：
∇ ⋅ σ + b = 0 \nabla \cdot \sigma + b = 0 ∇⋅σ+b=0
用下标表示为：
∂ σ i j ∂ x j + b i = 0 \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + b_i = 0 ∂xj∂σij+bi=0
其中， σ i j \sigma_{ij} σij 是应力张量的分量， b i b_i bi 是体积力的分量。
平衡方程弱形式
我们乘以一个任意的虚位移场 v i v_i vi 并在整个体积 Ω \Omega Ω 上积分：
∫ Ω ( ∂ σ i j ∂ x j + b i ) v i d Ω = 0 \int_\Omega \left( \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + b_i \right) v_i \, d\Omega = 0 ∫Ω(∂xj∂σij+bi)vidΩ=0
展开得到：
∫ Ω ∂ σ i j ∂ x j v i d Ω + ∫ Ω b i v i d Ω = 0 \int_\Omega \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} v_i \, d\Omega + \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega = 0 ∫Ω∂xj∂σijvidΩ+∫ΩbividΩ=0
对第一个积分项使用分部积分
对第一个积分项 ∫ Ω ∂ σ i j ∂ x j v i d Ω \int_\Omega \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} v_i \, d\Omega ∫Ω∂xj∂σijvidΩ 使用分部积分和微分乘法法则，将导数从应力张量 σ i j \sigma_{ij} σij 转移到虚位移场 v i v_i vi 上。
∫ Ω ( v i ∂ σ i j ∂ x j + σ i j ∂ v i ∂ x j ) d Ω = ∫ Ω ∂ ( σ i j v i ) ∂ x j d Ω \int_\Omega \left( v_i \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \right) d\Omega = \int_\Omega \frac{\partial (\sigma_{ij} v_i)}{\partial x_j} \, d\Omega ∫Ω(vi∂xj∂σij+σij∂xj∂vi)dΩ=∫Ω∂xj∂(σijvi)dΩ
根据高斯散度定理有：
∫ Ω ∂ ( σ i j v i ) ∂ x j d Ω = ∫ ∂ Ω σ i j v i n j d S \int_\Omega \frac{\partial (\sigma_{ij} v_i)}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega} \sigma_{ij} v_i n_j \, dS ∫Ω∂xj∂(σijvi)dΩ=∫∂ΩσijvinjdS
这里， ∂ Ω \partial\Omega ∂Ω 是体积 Ω \Omega Ω 的边界， n j n_j nj 是边界上的单位外法向量。因此，我们可以将第一个积分项写成：
∫ Ω v i ∂ σ i j ∂ x j d Ω = ∫ ∂ Ω σ i j v i n j d S − ∫ Ω σ i j ∂ v i ∂ x j d Ω \int_\Omega v_i \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega} \sigma_{ij} v_i n_j \, dS - \int_\Omega \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \, d\Omega ∫Ωvi∂xj∂σijdΩ=∫∂ΩσijvinjdS−∫Ωσij∂xj∂vidΩ
代入平衡方程弱形式
将上面分部积分得到的公式带入到平衡方程弱形式可得：
∫ Ω σ i j ∂ v i ∂ x j d Ω = ∫ ∂ Ω σ i j v i n j d S + ∫ Ω b i v i d Ω \int_\Omega \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega} \sigma_{ij} v_i n_j \, dS + \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega ∫Ωσij∂xj∂vidΩ=∫∂ΩσijvinjdS+∫ΩbividΩ
根据边界条件：
- 在边界 ∂ Ω t \partial\Omega_t ∂Ωt 上有应力边界条件 σ i j n j = t i \sigma_{ij} n_j = t_i σijnj=ti
- 在边界 ∂ Ω u \partial\Omega_u ∂Ωu 上有位移边界条件 u i = u 0 i u_i = u_{0i} ui=u0i
最终虚功原理(虚位移原理)
结合体积力项和边界条件，得到弱形式：
∫ Ω σ i j ∂ v i ∂ x j d Ω = ∫ ∂ Ω t t i v i d S + ∫ Ω b i v i d Ω \int_\Omega \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \, d\Omega = \int_{\partial\Omega_t} t_i v_i \, dS + \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega ∫Ωσij∂xj∂vidΩ=∫∂ΩttividS+∫ΩbividΩ
由应力张量的对称性
σ i j ∂ v i ∂ x j = 1 2 ( σ i j + σ j i ) ∂ v i ∂ x j = σ i j 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) \sigma_{ij} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} = \frac{1}{2}(\sigma_{ij} + \sigma_{ji})\frac{\partial v_i}{\partial x_j} = \sigma_{ij} \frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}) σij∂xj∂vi=21(σij+σji)∂xj∂vi=σij21(∂xj∂vi+∂xi∂vj)
最终，平衡方程的弱形式为：
∫ Ω σ i j ϵ i j d Ω − ∫ Ω b i v i d Ω − ∫ ∂ Ω t t i v i d S = 0 \int_\Omega \sigma_{ij} \epsilon_{ij} \, d\Omega - \int_\Omega b_i v_i \, d\Omega - \int_{\partial\Omega_t} t_i v_i \, dS = 0 ∫ΩσijϵijdΩ−∫ΩbividΩ−∫∂ΩttividS=0
如果将上面的 v i v_i vi写成位移的变分形式可以得到如下的虚功方程
∫ Ω σ : δ ϵ d Ω = ∫ Ω b ⋅ δ u d Ω + ∫ ∂ Ω t t ⋅ δ u d S \int_\Omega \sigma : \delta \epsilon \, d\Omega = \int_\Omega b \cdot \delta u \, d\Omega +\int_{\partial\Omega_t} t \cdot \delta u \, dS ∫Ωσ:δϵdΩ=∫Ωb⋅δudΩ+∫∂Ωtt⋅δudS
总结
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分“弱”形式。虚位移原理的力学意义是：如果力系(包括内力和外力)是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作之功的总和为零。反之，如果力系在虚位移及虚应变上所作之功的和等于零，则它们一定是满足平衡的，所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
+O(1)）)
