DFS

例题：排列数字
在排列组合问题中，每个位置需要尝试多个不同的数字组合，需要回溯以尝试不同的可能性。因此，需要显式地恢复现场（撤销标记），以确保每个可能的路径都被探索。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 10;
int path[N];
bool st[N];
int n;void dfs(int u)
{if (u == n){for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", path[i]);puts("");return;}for (int i = 1; i <= n; i++){if (!st[i]){path[u] = i;st[i] = true;dfs(u + 1);st[i] = false; //还原}}
}int main()
{scanf("%d", &n);dfs(0);return 0;
}

例题：n-皇后问题
按位置枚举，复杂度较高：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 10;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N * 2], udg[N * 2];
int n;void dfs(int x, int y, int s)
{if (y == n){y = 0;x++;}if (x == n){if (s == n){for (int i = 0; i < n; i++) printf("%s\n", g[i]);puts("");}return; //记得return}//不放dfs(x, y + 1, s);//放if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n]){g[x][y] = 'Q';row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;dfs(x, y + 1, s + 1);g[x][y] = '.';row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;}
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++) g[i][j] = '.';}dfs(0, 0, 0);return 0;
}

BFS

当所有路权值为1时，求最短路用bfs。

例题：走迷宫
以下是加上打印路径后的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 110;
typedef pair<int, int> PII;
int g[N][N], d[N][N];
vector<PII> path;
PII pre[N][N];
int n, m;
int dx[4] = {0, 0, 1, -1}, dy[4] = {-1, 1, 0, 0};int bfs(int x, int y)
{queue<PII> q;q.push({x, y});memset(d, -1, sizeof d);memset(pre, -1, sizeof pre);d[x][y] = 0;while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();for (int i = 0; i < 4; i++){int tx = t.first + dx[i], ty = t.second + dy[i];if (tx < 0 || ty < 0 || tx >= n || ty >= m) continue;if (g[tx][ty] == 1 || d[tx][ty] != -1) continue;d[tx][ty] = d[t.first][t.second] + 1;pre[tx][ty] = {t.first, t.second};q.push({tx, ty});}}return d[n - 1][m - 1];
}void getpath()
{if (d[n - 1][m - 1] == -1) return;for (PII at = {n - 1, m - 1}; at != make_pair(-1, -1); at = pre[at.first][at.second]){path.push_back(at);}reverse(path.begin(), path.end());
}int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < m; j++)  cin >> g[i][j];}printf("The shortest path length: %d\n", bfs(0, 0));getpath();if (path.empty()) printf("No path found.");else{printf("path: ");for (auto p: path){printf("(%d, %d) ", p.first, p.second);}}
}

例题：八数码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;char c;
string start;int bfs(string start)
{string end = "12345678x";queue<string> q;unordered_map<string, int> d; //距离q.push(start);d[start] = 0;//转移方式，可以从上下左右转移到xint dx[4] = {-1, 1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, -1, 1};while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();int distance = d[t];if (t == end) return distance;//查询x在字符串中的下标，转换成二维坐标int k = t.find('x');int x = k / 3, y = k % 3;for (int i = 0; i < 4; i++){int tx = x + dx[i], ty = y + dy[i];if (tx >= 0 && tx < 3 && ty >= 0 && ty < 3){//转移xswap(t[k], t[tx * 3 + ty]);//如果之前没有遍历过这种状态//count方法可以用来检查某个键是否存在，返回键在unordered_map中出现的次数//（对于unordered_map来说，这个值要么是0，要么是1，因为键是唯一的）。if (!d.count(t)){d[t] = distance + 1;q.push(t);}//还原状态swap(t[k], t[tx * 3 + ty]);//假设我们在某个状态"12345678x"，x的位置在右下角。//第一次交换x和左边的数字生成状态"1234567x8"。//如果不还原状态，结果就是基于状态"1234567x8"而不是"12345678x"进行的，这显然是错误的。}}}return -1;
}int main()
{for (int i = 0; i < 9; i++){//过滤空格并存储到字符串中cin >> c;start += c;}printf("%d", bfs(start));return 0;
}

树与图的深度优先遍历

树与图的深度优先遍历每个节点只遍历一次，用dfs不用恢复现场。
用邻接表存储。这题是无向图。
例题：树的重心

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10, M = N * 2;
int n;
//h存储每个节点的头指针，e存储边的终点，ne存储下一条边的索引，idx为当前边的索引
//由于每条无向边需要存储两次，因此如果有 m 条边，需要分配 2 * m 的空间给 e[] 和 ne[] 数组
int h[N], e[M], ne[M], idx; //树或图邻接表中的idx用作每条边的唯一索引
int ans = N; //用于存储当前重心的最大子树大小的最小值
bool st[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b; //记录边的终点ne[idx] = h[a]; //将当前边的索引插入到邻接表头部。h[a] = idx; //更新邻接表头指针，使其指向新插入的边。idx++;
}int dfs(int u)
{st[u] = true;//size用于存储以u为根节点的树的子树（即连通图，不包含u）的最大大小，sum用于存储以u为根节点的树的节点总和int size = 0, sum = 1;// 遍历节点u的所有邻接边for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (st[j]) continue;int s = dfs(j); // 递归计算子树的大小size = max(size, s);sum += s;}//st数组标记是否被遍历，又因为main函数里dfs（1）这个1是随意的，//如果从1开始，我们知道4是树的重心，而这时候遍历4的时候，因为1已经被遍历过了，//所以size在for循环里不能往上走（不能往1那边走），n - sum表示另一边已经被遍历过的连通块节点数，//那res = max(res, n - sum);就能够计算将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。size = max(size, n - sum);ans = min(size, ans); //遍历过的假设重心中，最小的 最大联通子图的节点数return sum;
}int main()
{scanf("%d", &n);memset(h, -1, sizeof h); // 初始化头指针数组为-1，表示没有边for (int i = 0; i < n - 1; i++) // 读取n-1条边（树有n个节点，n-1条边）{int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b), add(b, a);}dfs(1);printf("%d", ans);return 0;
}

树的广度优先遍历

例题：图中点的层次
这题是有向图。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N];void add(int a, int b)
{e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx++;
}int bfs()
{memset(d, -1, sizeof d);queue<int> q;d[1] = 0;q.push(1);while (q.size()){int t = q.front();q.pop();for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i]; //节点编号if (d[j] == -1){q.push(j);d[j] = d[t] + 1;}}}return d[n];
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);memset(h, -1, sizeof h);for (int i = 0; i < m; i++){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b);}printf("%d", bfs());return 0;
}

拓扑排序

有向图才有拓扑序列。存在环一定没有拓扑序列。
有向无环图一定存在拓扑序列，一定至少存在一个入度为0的点，也被称为拓扑图。
例题：有向图的拓扑排序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N]; //每个点的入度
int n, m;void add(int a, int b)
{e[idx] = b;ne[idx] = h[a];h[a] = idx++;d[b]++; //b的入度加1
}void topsort()
{queue<int> q;vector<int> ans;for (int i = 1; i <= n; i++){if (d[i] == 0) q.push(i); //入度为0节点的入列，可以作为拓扑序列的第一个}while (q.size()){int t = q.front();ans.push_back(t); // 用于保存拓扑排序结果q.pop();for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i]; //节点的编号d[j]--; //删除出队的结点指向这个点的边，这个点的入度-1if (d[j] == 0){q.push(j);}}}if (ans.size() == n) // 如果队列中的点的个数与图中点的个数相同，则可以进行拓扑排序{for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", ans[i]);}else{printf("-1");}
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);memset(h, -1, sizeof h);while (m--){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b);}topsort();return 0;
}