浮点数在内存中的存储结构

浮点数在内存中的存储可以参考《IEEE754标准》https://people.eecs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/IEEE754.PDF

参考博文：IEEE754详解（最详细简单有趣味的介绍）-CSDN博客

单精度float占内存4字节，最高位bit31表示符号位，指数位bit23~bit30占用8个bit位，剩余的23个bit表示尾数。

双精度double占用内存8字节，最高位bit63表示符号位，指数位bit52~bit62占用11个bit位，剩余的52个bit表示尾数。

字节长度符号位S指数位E尾数M
单精度4字节1 [31]8 [30-23]23 [22-0]
双精度8字节1 [63]11 [62-52]52 [51-0]

任何一个数，都可以使用不同的权重表示，最终的计算结果公式如下：

假如有一个数：AnAn-1An-2...A2A1B1B2...Bn-1Bn，其中A1~An表示整数部分的每一位数，B1~Bn表示小数部分的每一位数。权重为Q，则

S = An*Q^(n-1)+An-1*Q^(n-2)+...+A2*Q^1+A1*Q^0+B1*Q^(-1)+B2*Q^(-2)+...Bn-1*Q^(-(n-1))+Bn*Q^(-n)

例如十进制数：123.456，对应的十进制数是

S = 1*10^2+2*10^1+3*10^0+4*10^(-1)+5*10^(-2)+6*10^(-3)

再比如二进制数：1011.011，对应的十进制数是

S = 1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0+0*2^(-1)+1*2^(-2)+1*2^(-3) = 11.365

再比如八进制数：56.76,对应的十进制是

S = 5*8^1+6*8^0+7*8^(-1)+6*8^(-2) = 46.96875

将10进制数转为其他进制，比如将整数为A，小数为B变为b进制（123.456：整数A=123,小数B=0.456），则步骤如下：

整数部分：

1. A除以b得到商B和余数R1

2. B除以b得到商C和余数R2

3. .................................Rn-1

4. 重复2，直到商为0，余数为Rn

则整数部分是：RnRn-1...R2R1

小数部分：

1. 小数B乘以b得到积B'，再将B'拆分成整数部分F1和小数C

2. 小数C乘以b得到积C'，再将C'拆分成整数部分F2和小数D

3. 小数D乘以b得到积D'，再将D'拆分成整数部分F3和小数E

4. 重复上述过程，直到小数为0。（有可能永远不会等于0）

则小数部分是：F1F2F3...Fn-1Fn..........

所以最终10进制转为其他进制的结果就是：RnRn-1...R2R1.F1F2F3...Fn-1Fn.........

注意R1和F1之间有一个小数点。

有了上面的基础认知后，我们来看看浮点数是如何存储在内存中的。

先说单精度：

指数是8位bit，所以可以表示为0~255，但是指数存在正数和负数，所以IEEE754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数127（2^7-1）

再说双精度：

指数是11位bit，所以可以表示为0~2047，但是指数存在正数和负数，所以IEEE754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数1023（2^11-1）

例：2^10的E是10，所以保存为32位浮点数的时候，E必须保存为10+127=137，即10001001。

保存为64位浮点数的时候，E保存为10+1023=1033，即10000001001

根据《IEEE754标准》规定，浮点数在计算机中是以科学计数表示方法存储的，例如123.456表示为1.23456*10^2

下面使用例子来说明存储浮点数（正数和负数计算方式一样，唯一区别就是最高bit位不同而已）

十进制数：123.456

按照公式，它的二进制是：1111011.0111010010111100011010100111111011111001110110.....后面省略不计算

它的科学表示方式是1.1110110111010010111100011010100111111011111001110110.....*2^6所以如下（以单精度为例）：

符号位：S=0

指数位：E=6+127=133，二进制是 10000101

尾数：M=1.1110110111010010111100011010100111111011111001110110......按照科学计数表示法来规定，小数点前面一定是1，所以IEEE754为了节省1一个bit，默认将小数点前面的1省略掉，所以实际M=1110110111010010111100011010100111111011111001110110......，右因为单精度的M只占23位，所以M=11101101110100101111001（第24位是1，需要进一位，遵循逢二进一原则）

所以最终的123.456在内存中的二进制是：

0 10000101 11101101110100101111001=0x42F6E979

十进制数：0.0456

二进制为：0.000010111010110001110001000011001011001010010101111010011110000...

科学表示：1.0111010110001110001000011001011001010010101111010011110000...*2^(-5)所以如下（单精度）：

符号位：S=0

指数位：E=-5+127=122，二进制是 01111010

尾数：M=01110101100011100010001

所以最终的0.0456在内存中的二进制是：

0 01111010 01110101100011100010001=0x3D3AC711

十进制浮点数转为二进制存储的计算步骤：

1. 确定符号位，正数S=0，负数S=1

2. 将正数转为二进制表示，例如123.456=1111011.0111010010111100011010100111111011111001110110.....

0.0456=0.000010111010110001110001000011001011001010010101111010011110000...

3. 将小数点进行左移/右移e位，使得小数点前面有且仅有一个有意义的数字1，即：变为科学计数表达形式。（左移得到的指数是正数，右移得到的是负数）

123.456的二进制小数点需要左移6位

0.0456的二进制小数点需要右移5位

4. 指数加上中间数base（单精度base=127，双精度base=1023）

    E = e+base

   123.456的E=6+127=133                 0.0456的E=-5+127=122

5. 将科学计数法表示的二进制数，从小数点后面第一位开始（因为小数点前面肯定是1，为了节省1bit，所以去掉），从左到右依次填充到尾数位，最后一位遵循逢二进一原则，从而得到M

6. 将S  E   M分别填充到对应的位，即可得到二进制存储。

内存中关于二进制转为浮点数

根据国际标准 IEEE754，任意一个浮点数都可以用如下形式来表示：

V = (-1)^S * M * 2^E。
符号 S 决定浮点数的是负数（S=1）还是正数（S=0），由一位符号位表示。
有效数M是一个二进制小数，它的范围在1~2之间。
指数E是2的幂，可正可负，作用是对浮点数加权，由8位或11位的指数域表示。

浮点数的二进制解析有以下解码格式
指数域E尾数域M说明
格式化值------

符合一般公式

此时的 E = E-base

非格式化值全是1全是0表示无穷
全是1不全是0表示NaN（不是一个有效数字）
特殊值全是0不全是0

此时的E=1-base。

M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数

0全是0全是0固定值0
--将整数转为浮点数float
local function Hex2Float(iValue)--[[--以下计算方法参考: https://docs.oracle.com/javase/6/docs/api/java/lang/Float.html#floatToIntBits(float)iValue = iValue&0xFFFFFFFFif 0x7f800000==iValue then --正无穷大return math.hugeelseif 0xff800000==iValue then --负无穷大return -math.hugeelseif (0x7f800001<=iValue and iValue<=0x7fffffff) or (0xff800001<=iValue and iValue<=0xffffffff) then --不是一个有效的数字return nilend--是一个有效的数字local bits = iValuelocal sif (bits>>31)&0x1==0 then s = 1else s = -1endlocal e = (bits>>23) & 0xfflocal mif 0==e then m = (bits & 0x7fffff) << 1else m = (bits & 0x7fffff) | 0x800000endreturn s*m*(2^(e-150)) -- s * m/(2^23) * 2^(e-127) 中间一部分相当于是十进制里面的 123/100=1.23一个操作]]----[[--详细解释实现原理--s e m分别占位： 1 8 23iValue = iValue&0xFFFFFFFFlocal s = (iValue>>31)&0x01local e = (iValue>>23)&0xFFlocal m = iValue&0x7FFFFFlocal S = slocal E = e-127local M = 1if e==0 and m==0 then --指数和尾数都是0的，表示0return 0.0 elseif e==0xFF and m==0 then --指数全是1，而尾数都是0的，表示无穷if s==1 thenreturn -math.hugeelsereturn math.hugeendelseif e==0xFF and m~=0 then --指数全是1，而尾数不全是0的，表示NaN（不是一个数）return nilelseif e==0 and m~=0 then --指数全是0，而尾数不全是0的，表示一种非规格化的数字E=-126 -- 1-127M = 0endfor i=1,23 doif (m>>(23-i))&0x01==0x01 thenM = M+2^(-i)endend-- f = (-1)^s * m * 2^ereturn ((-1)^S) * M * (2^E)]]--local binary = {}for i=3,0,-1 dotable.insert(binary,(iValue>>(i*8))&0xFF)endlocal v,pos = string.unpack(">f", string.char(table.unpack(binary)))return v
end

--将整数转为浮点数double
local function Hex2Double(iValue)--[[--以下计算方法参考: https://docs.oracle.com/javase/6/docs/api/java/lang/Double.html#doubleToLongBits(double)iValue = iValue&0xFFFFFFFFFFFFFFFFif 0x7ff0000000000000==iValue then --正无穷大return math.hugeelseif 0xfff0000000000000==iValue then --负无穷大return -math.hugeelseif (0x7ff0000000000001<=iValue and iValue<=0x7fffffffffffffff) or (0xfff0000000000001<=iValue and iValue<=0xffffffffffffffff) then --不是一个有效的数字return nilend--是一个有效的数字local bits = iValuelocal sif (bits>>63)&0x1==0 then s = 1else s = -1endlocal e = (bits>>52) & 0x7fflocal mif 0==e then m = (bits & 0xfffffffffffff) << 1else m = (bits & 0xfffffffffffff) | 0x10000000000000endreturn s*m*(2^(e-1075))]]----[[--详细解释实现原理--s e m分别占位： 1 11 52iValue = iValue&0xFFFFFFFFFFFFFFFFlocal s = (iValue>>63)&0x01local e = (iValue>>52)&0x7FFlocal m = iValue&0xFFFFFFFFFFFFFlocal S = slocal E = e-1023local M = 1if e==0 and m==0 then --指数和尾数都是0的，表示0return 0.0 elseif e==0x7FF and m==0 then --指数全是1，而尾数都是0的，表示无穷if s==1 thenreturn -math.hugeelsereturn math.hugeendelseif e==0x7FF and m~=0 then --指数全是1，而尾数不全是0的，表示NaN（不是一个数）return nilelseif e==0 and m~=0 then --一种非规格化的数字E=-1022 -- 1-1023M = 0endfor i=1,52 doif (m>>(52-i))&0x01==0x01 thenM = M+2^(-i)endend-- f = (-1)^s * m * 2^ereturn ((-1)^S) * M * (2^E)]]--local binary = {}for i=7,0,-1 dotable.insert(binary,(iValue>>(i*8))&0xFF)endlocal v,pos = string.unpack(">d", string.char(table.unpack(binary)))return v
end

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