5.2 位运算专题：LeetCode 268. 丢失的数字

1. 题目链接

LeetCode 268. 丢失的数字

2. 题目描述

给定一个包含 [0, n] 范围内 n 个不同整数的数组 nums（实际长度为 n），找出数组中缺失的那个数字。
示例：

输入：nums = [3,0,1] → 输出：2（缺失数字为 2）
输入：nums = [0,1] → 输出：2（缺失数字为 2）

3. 示例分析

缺失中间值：
- nums = [0,1,3,4] → 缺失 2。
缺失最大值：
- nums = [0,1,2] → 缺失 3（数组长度 n=3，范围为 [0,3]）。
空数组：
- 若 nums = [] → 缺失 0（题目保证 n ≥ 1，实际无需处理）。

4. 算法思路

核心思想：异或运算的归零律与恒等律

异或性质：
- 归零律：a ^ a = 0
- 恒等律：a ^ 0 = a
- 交换律：a ^ b = b ^ a
问题转化：
- 假设完整数组为 [0,1,2,...,n]，实际数组 nums 缺少其中一个数。
- 对完整数组和实际数组进行异或运算，重复的数会被抵消，最终结果为缺失值。

实现步骤：

遍历实际数组：将所有元素异或到结果 ret。
遍历完整数组：将 [0,1,...,n] 中的每个数异或到 ret。
最终结果：ret 即为缺失的数字。

5. 边界条件与注意事项

输入数组有效性：
- 题目保证数组元素唯一且范围正确，无需额外处理重复或越界值。
缺失最大值的处理：
- 若缺失 n，第二个循环中 i 的范围为 0~n，仍能正确异或得到结果。
异或运算顺序无关性：
- 异或满足交换律，遍历顺序不影响最终结果。

6. 代码实现

class Solution 
{
public:int missingNumber(vector<int>& nums) {int ret = 0;// 第一轮异或：处理实际数组for (int num : nums) ret ^= num;// 第二轮异或：处理完整数组 [0, 1, ..., n]for (int i = 0; i <= nums.size(); i++) ret ^= i;return ret;}
};

在这里插入图片描述

算法分步解析

初始化结果变量：
```
int ret = 0;
```
- ret 初始为 0，因为 0 ^ a = a。
第一轮异或遍历实际数组：
```
for (int num : nums) ret ^= num;
```
- 假设实际数组为 [3,0,1]，则 ret 结果为 3 ^ 0 ^ 1 = 2。
第二轮异或遍历完整数组：
```
for (int i = 0; i <= nums.size(); i++) ret ^= i;
```
- 完整数组为 [0,1,2,3]，此时 ret 计算为 2 ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 = 3。
返回结果：
```
return ret;
```
- 最终结果为 3，即缺失的数字。

与暴力枚举法的对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	核心思想
异或法	O(n)	O(1)	利用异或抵消重复元素
哈希表法	O(n)	O(n)	存储已出现元素，查找缺失值
数学求和法	O(n)	O(1)	计算理论总和与实际和的差值
暴力枚举法	O(n²)	O(1)	遍历检查每个数是否在数组中